Gleichungssystem mit Vektoren

17.03.2022, 19:15	the.noob	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem mit Vektoren Meine Frage: Hallo Community, komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich soll zeigen, dass für eine invertierbare Matrix A e (nxn,K) und beliebige Vektoren v_1,_,v_n eines Vektorraums folgende Beziehung gilt Aus \sum\limits_{j=1}^{n} a_ijv_j=0 für alle 1<=i<=n folgt v_1,_,v_n=0 Meine Ideen:* Also diese Summe wird auf jede Zeile der Matrix A angewandt. Das ergibt dann ein Gleichungssystem a_1iv_1+_+a_niv_n=0 Für die Einheitsmatrix konnte ich das schon zeigen, doch allgemein für invertierbare Matrizen noch nicht. Ich weiß aus der Invertierbarkeit, dass meine Zeilen von A jeweils linear unabhängig sind. In jeder Zeile des Gl.Systems werden aber dieselben Vektoren v_1,_,v_n skaliert. Also angenommen es gibt eine Zeile k (1<=k<=n), s.d a_k1v1+_+a_knvn_n=o mit v_1,_, v_j die nicht alle 0 sind. Das funktioniert wegen der linearen Unabhängigkeit von v_1,_,v_n in keiner weiteren Zeile Ergo, das Gl. System hat nur v_1,_,v_n=0 als Lösung Also ich bin mir mit meiner Begründung sehr unsicher. Vor allen Dingen weiß ich gar nicht, ob das mit Vektoren so gut klappt. Lg the.noob
17.03.2022, 21:13	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier geht so manches Durcheinander. Du hast in der Summe den Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ , lässt dann aber von $\begin{eqnarray} a_{1i} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a_{ni} \end{eqnarray}$ laufen. Deine Gedanken kannst du im Grunde mit einer einzigen Schreibweise zusammenfassen, aber ich will dir nicht direkt die Lösung verraten. Schreib dir doch mal jede dieser Zeilen korrekt auf, also in der Form $\begin{eqnarray} a_{11}v_1 + a_{12}v2 + \dots + a_{1n}v_n = 0 \end{eqnarray}$ . Was ist das, was du dann rausbekommst?
17.03.2022, 22:08	the.noob	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ichwarneu Da ist mir echt einiges durcheinander gekommen. Ich habe Spalten und Zeilen leider vertauscht in meinem Lösungsansatz. Außerdem meinte ich hier : "Das funktioniert wegen der linearen Unabhängigkeit von v_1,_,v_n in keiner weiteren Zeile" nicht die lineare Unabhängigkeit von den Vektoren sondern den Einträgen der Matrix, nämlich der Zeile a_k1,_,a_kn Also ich würde das dann trotzdem wieder damit begründen, dass die Zeilen bzw. Spalten einer invertierbaren Matrix linear unabhängig sind. Mir fällt jetzt gerade nichts mehr ein. Ich versuche es morgen nochmal. Gute Nacht the.noob
19.03.2022, 20:24	the.noob	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also ich bekomme in dieser Summe ja wieder einen Vektor raus. Aber wie kann ich mit Sicherheit sagen, dass nur der Nullvektor rauskommen kann, wenn alle meine v_j = 0 sind? Lg the.noob
20.03.2022, 19:00	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
In jeder einzelnen Zeile bekommst du ja erstmal nur ein Element raus. Zusammen sind diese dann ein Vektor. Es war hier etwas schwammig, was du genau meinst. Vielleicht liegt auch genau da das Problem. Was passiert denn, ,wenn du mal einen Schritt zurückgehst? Schreibe dir daher wirklich mal vier Zeilen hin. Die ersten beiden und die letzten beiden. Und dort jeweils die ersten beiden und letzten beiden Summanden und die rechte Seite. Aus dieser Darstellung gewinnt man schon eine Information, "worin" man sich eigentlich gerade befindet.

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