Korbbogen als Näherung zur Ellipse

18.03.2022, 10:25

Conny_1729

Korbbogen als Näherung zur Ellipse

Hallo,
ich habe im Anhang eine Aufgabenstellung, die sich damit beschäftigt, wie Umfang/Fläche einer Ellipse sich von einer Korbbogenkonstruktion unterscheiden. Es ist in diesem Rahmen eher eine numerisch zu lösende Aufgabe, die aber ihre Tücken haben könnte, wenn man unendlich kleinen Flächen zustrebt und diese ins Verhältnis setzt.

Ich habe mich einmal soweit vorgearbeitet. Für die Radien der Korbbogenkonstruktion erhalte ich die Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} R_{1}=\frac{1}{2b}\left[a^{2}+b^{2}+(a-b)\sqrt{a^{2}+b^{2}} \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_{2}=\frac{1}{2a}\left[a^{2}+b^{2}-(a-b)\sqrt{a^{2}+b^{2}} \right] \end{eqnarray*}$

Damit kann ich gleich die Aufgabe e) lösen, indem ich R1 durch a teile.
$\begin{eqnarray*} \frac{R_{1}}{a}=\frac{1}{2ka^{2} }\left[a^{2}+b^{2}+(a-b)\sqrt{a^{2}+b^{2}} \right]=\frac{1}{2k }\left[1^{2}+k^{2}+(1-k)\sqrt{1^{2}+k^{2}} \right] \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} \frac{R_{1}}{a} =\frac{1}{2k }\left[1^{2}+k^{2}+(1-k)\left(1^{2}+\frac{k^{2}}{2}\right) \right] \end{eqnarray*}$

Ähnliches Spiel dann mit R2:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0} \frac{R_{2}}{a}=\lim_{k \to 0} \frac{1}{2 }\left[1+k^{2}-(1-k)\sqrt{1+k^{2}} \right]=\frac{1}{2 }\left[1+k^{2}-(1-k)(1+\frac{k^{2}}{2} ) \right] \end{eqnarray*}$

Der Umfang einer Korbbogenkonstruktion sollte sich hierüber berechnen lassen:
$\begin{eqnarray*} U_{KB} =4\cdot arctan(k)\cdot \left(R_{1}-R_{2} \right)+2R_{2}\pi \end{eqnarray*}$

Und die Fläche dazu wäre dann:
$\begin{eqnarray*} A_{KB} =2\cdot arctan\left(k\right) \left(R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right) +R_{2}^{2}\pi-2(R_{1}-b)(a-R_{2}) \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf folgende Ergebnisse für a)…d): (numerisch!!!)

zu a) rel. Fehler = 0,01835 (bzgl. Umfang)
zu b) k = 0,1922
zu c) rel. Fehler = 0,0610 (bzgl. Fläche, wenn k gegen null läuft)
wobei (10/3-Pi)/Pi = 0,06103
zu d) k größer gleich 0,4854

Bei der Aufgabe f) bin ich so vorgegangen, dass ich den Korbbogen aus zwei Elementen zusammensetze. Das sind die zwei Kugelabschnitte mit Radius R2 und dem Rotationsprofil f(x) dazwischen.
Das Volumen für die beiden Kugelabschnitte errechnet sich mit:
$\begin{eqnarray*} V_{KB1} =2\cdot \frac{1}{3} \pi\cdot c^{2}\cdot (3R_{2}-c) \end{eqnarray*}$

Wobei es sich bei c um die „Höhe“ des Kugelabschnitts handelt.
$\begin{eqnarray*} c=R_{2}\cdot \left[1-sin\left(arctan(k)\right) \right] \end{eqnarray*}$

Das Rotationsprofil wäre hier:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{R_{1}^{2}-x^{2}}-(R_{1}-b) \end{eqnarray*}$

und das dazugehörige Volumen:
$\begin{eqnarray*} V_{KB2} =\pi \int_{0}^{a-c} \! 2f(x)^{2} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{KB2(x)} =2\pi \left[(2R_{1}^{2}-2R_{1}b+b^{2})x-\frac{x^{3} }{3}-(R_{1}-b)\left[x\sqrt{R_{1}^{2}-x^{2}}+R_{1}^{2}\cdot arcsin(\frac{x}{R_{1}} ) \right] \right] \end{eqnarray*}$

Das zusammengesetzte Volumen der Korbbogenkonstruktion ist dann:
$\begin{eqnarray*} V_{KB} = V_{KB1} + V_{KB2} \end{eqnarray*}$

Als relativen Fehler des Volumens, wenn k gegen null läuft, bekomme ich dann numerisch für Aufgabe f) den Wert 0,075 heraus.

Wie anfangs schon gesagt, wenn Flächen/Volumina gegen einen unendlich kleinen Wert streben und wie hier zur Berechnung des relativen Fehlers in Verhältnis gesetzt werden, dann muss man (glaube ich) sehr vorsichtig sein.

Daher meine Frage: Lassen sich meine Werte zu Aufgabe c) und f) bestätigen?
Bzw. anders gefragt: Kann man diese Werte über einen geschickten Grenzwertübergang für k gegen null auch berechnen? (ohne numerisch zu rechnen)

Gruß Conny

19.03.2022, 12:29

lh2

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