Analysis- Übungsklausur

18.03.2022, 14:44

Lion96

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Analysis- Übungsklausur

Kann mir jemand bitte bei den Aufgaben 1 (a,b,c) und 2 (a,b) und 3 (b) helfen? Ich verstehe nichts mehr und hänge hinterher. Es handelt sich hierbei um eine Übungsklausur, da ich seit längerem krank war, verstehe ich leider gar nichts.

Danke im Voraus!

18.03.2022, 21:17

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
1.
Unter Berücksichtigung des behandelten Stoffes kann man davon ausgehen, dass der gegebene Graph eine Parabel darstellt.
a)
Wir sind dann auf der sicheren Seite, wenn für die Ableitung eine Gerade gezeichnet wird, die an der Stelle, wo die Parabel ihren Scheitelpunkt hat, eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach + hat.
Um die Steigung der Geraden realistisch zu zeichnen, kannst Du z. B. die Steigung der Parabel an einer ihrer Nullstellen schätzen. Die Gerade sollte dann an dieser Stelle den y-Wert gleich der Parabelsteigung annehmen. Durch die 2 Punkte wird die Gerade gezogen. Da keine Längeneinheiten angegeben sind, kannst Du diese auch sinnvoll schätzen.
b)
Wir sind ebenfalls auf der sicheren Seite, wenn für die Stammfunktion eine typische Funktion 3. Grades gezeichnet wird.
An der linken Nullstelle wechselt die Parabelfunktion von + nach -, also muß die Stammfunktion an dieser Stelle einen lokalen Hochpunkt haben.
An der rechten Nullstelle wechselt die Parabelfunktion von - nach +, also muß die Stammfunktion an dieser Stelle einen lokalen Tiefpunkt haben.
An der Stelle, wo die Parabel ihren Scheitelpunkt hat, muß die Stammfunktion einen Wendepunkt haben.

Vorbeugend: Dir ist hoffentlich klar, dass "an dieser Stelle" nicht "in diesem Punkt" heißt.

2.
a)
Du hast einen Punkt, dessen Koordinaten x, y Du in die Funktionsgleichung einsetzen kannst. Dann bleibt eine Gleichung mit der Unbekannten k, nach der Du auflösen mußt.
b)
Hier mußt Du einfach fk(x) ableiten und umformen, bis das gewünschte Ergebnis dasteht.

Damit hast Du erstmal zu tun. Die 3b) sei einstweilen zurückgestellt.

18.03.2022, 22:05

Lion96

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Ich verstehe immer noch nicht wie ich 1a und 1 b zeichnen soll. Und was mit 1 c ist?
Also bei b)) dort wo der Tiefpunkt/Hochpunkt liegt, ist der Wendepunkt ?
Ich habe noch nicht ganz gecheckt was mit den Nullstellen ist, also welcher von den Nullstellen ist denn der Hoch und Tiefpunkt wie kann ich das heraus finden?

Und was ist mit 1a) die Ableitung

18.03.2022, 22:09

Lion96

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Gibt es bei diesen Aufgaben aufgrund dessen, dass man keine genauen Angaben hat Versch. Lösungen?

18.03.2022, 22:16

Lion96

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Bei Aufgabe 2a
habe ich kein Ergebnis (s.Anhang)
Am Ende kommt bei mir (-1+k) heraus

18.03.2022, 22:39

Lion96

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Aufgabe 2b)

komme ich auch nicht so zu recht.
Wie gehe danach vor?

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18.03.2022, 22:50

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Die Rückfragen zu 1. bleiben doch um einiges hinter den Hinweisen zurück, die ich schon gegeben habe. Du solltest auch die Aufgaben der Reihe nach angehen, nicht alles auf einmal streifen. Ein gewisses Grundwissen zum Zusammenhang zwischen Funktionen und ihren Ableitungen müßte natürlich vorhanden sein, denn es würde den Rahmen sprengen, hier vielleicht mehrere Wochen Stoff völlig neu aufzurollen.
Die 1c habe ich vorläufig weggelassen, weil es eine etwas schwammige "Laberfrage" ist.

Es erscheint sinnvoller, die echten Rechenaufgaben vorzuziehen.

Die 2a war ja gar nicht so schlecht, nur warum hast Du abgebrochen?
Was bleibt denn übrig, wenn Du auf der rechten Seite e durch e teilst?
Das verschwindet doch nicht einfach.

Und zur Warnung:
Es ist zwar $\begin{eqnarray*} (-1)^{3}=-1^{3} \end{eqnarray*}$ , dennoch sollte man beim Einsetzen negativer Werte in potenzierte Variablen immer Klammern setzen.

Bei der 2b ist Dein Aufschrieb etwas unübersichtlich, allerdings ist die letzte Zeile durchaus korrekt. Diese Summe mußt Du jetzt richtig zusammenfassen.
Nächster Schritt: $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

18.03.2022, 23:28

Lion96

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2a habe ich nun gelöst es kommt k=2 heraus.

Bei Aufgabe 2b) ist doch e^-x ausgeklammert oder meinst du das zweite (-e^-x) ?
Ich weiß nicht wie ich die Klammer auslösen kann ohne das ich überall e stehen habe.

Und bei der Aufgabe 3 a,b benötige ich auch Hilfe. Habe schon etwas vorgerechnet, aber so ganz wird das nichts. Bin echt am verzweifeln ;/

18.03.2022, 23:52

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Bei 2a:
k=2 ist richtig.

Bei 2b:
Gemeinsame Faktoren der Summanden können ausgeklammert werden.
$\begin{eqnarray*} \left(3x^{2}+2kx \right) \cdot \underbrace{e^{-x}}_{Faktor}\underbrace{+}_{Summe} \left(x^{3}+kx^{2} \right) \cdot \left(-\underbrace{e^{-x}}_{Faktor} \right) \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe 3 kommt später. Immerhin geht es voran.

18.03.2022, 23:59

Lion96

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RE: Analysis- Übungsklausur
Also -(e^-x)^2v oder -1/e^2x ?

19.03.2022, 00:04

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Die Frage verstehe ich nicht.
Da steht eine Summe. Deren Summanden enthalten einen gemeinsamen Faktor. Dieser kann ausgeklammert werden.
Ausklammern ist grundlegend und wurde auf jeden Fall in einem früherem Schuljahr behandelt.
Probiere es zunächst anhand $\begin{eqnarray*} a \cdot c +b\cdot c \end{eqnarray*}$

19.03.2022, 00:14

Lion96

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RE: Analysis- Übungsklausur
c(a+b)

demnach auch -(e^-x)^2
da ich wenn ich die klammer auflöse auf e-^x und -e^-x kommen müsste.

19.03.2022, 00:23

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Schade, nein, da konntest Du den einfachen Fall nicht auf den "schwierigeren" übertragen, was eigentlich Sinn der Sache wäre. Ich wollte sowas sehen wie
$\begin{eqnarray*} e^{-x}\cdot \left[\left(3x^{2}+2kx \right)+\left(x^{3}+kx^{2} \right)\left(-1\right) \right] \end{eqnarray*}$

19.03.2022, 00:37

Lion96

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RE: Analysis- Übungsklausur
Aber bei der Lösung würde doch das -(e^-x) fehlen ?

19.03.2022, 00:46

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Da fehlt nichts.
Meinen letzten Term mußt Du jetzt einfach so lange inspizieren, bis Dir klar ist, was ich gemacht habe.
Dann kannst Du in der eckigen Klammer mit der Umformung fortfahren, bis Du beim Ergebnis vom Aufgabenblatt ankommst.

19.03.2022, 00:51

Lion96

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RE: Analysis- Übungsklausur
wenn du das eine -e^-x, wegkürzt müsste das zweite auch weg.
also nur -1 müsste da stehen .

19.03.2022, 00:54

Lion96

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so meine ich, sonst würde es keinen sinn ergeben, bei Brüchen macht man es genau so.

19.03.2022, 00:59

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Hier stehen keine Brüche. Ich habe nichts gekürzt - ich habe ausgeklammert.
Beim Kürzen fällt etwas weg, beim Ausklammern nicht. Bitte genau hinsehen.

19.03.2022, 04:38

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Einstweilen schon ein Ausblick auf die Aufgabe 3b.

Die eingeschlossene Fläche setzt sich aus 2 Teilen zusammen:
- rote Fläche zwischen $\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=\frac{1}{2}x(x-2)^{2} \end{eqnarray*}$ in den Grenzen von $\begin{eqnarray*} x_{U} \end{eqnarray*}$ bis 2
- gelbe Fläche zwischen $\begin{eqnarray*} f_{4}(x)=\frac{1}{4}x(x-4)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=\frac{1}{2}x(x-2)^{2} \end{eqnarray*}$ n den Grenzen von 2 bis $\begin{eqnarray*} x_{O} \end{eqnarray*}$

[attach]54753[/attach]

Die Stellen $\begin{eqnarray*} x_{U} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_{O} \end{eqnarray*}$ , an denen sich die jeweiligen Funktionen schneiden, mußt Du ausrechnen.

Zuerst soll aber die Aufgabe 2b abgeschlossen sein.

19.03.2022, 14:41

Lion96

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RE: Analysis- Übungsklausur
Bei dir fällt doch dann das eine e^-x weg, welches vorhin doch da war.
Wenn gemeinsame Faktoren ausgeklammert werden können, was ich ja verstehe muss man doch eine 2 davor schreiben. dass wenn man es auflösen will auch diese zwei e^-x erhält und nicht nur eins.
Verstehst du meinen Gedanken?

19.03.2022, 14:50

Lion96

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RE: Analysis- Übungsklausur
Zur Aufgabe 3b wie kann man den die jeweiligen Grenzen ausrechnen?

Und zur Aufgabe 3a) die habe ich fast komplett fertig, außer „Ermitteln Sie die Stellen, an denen die jeweilige Tangente an den Graphen von f6, die Steigung 6 hat.
Kommt da x=0 und x=-8 raus? oder nur x=-8 ?

19.03.2022, 14:53

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
So ganz durchdringe ich Deine Vorstellung nicht, aber es handelt sich offenbar um ein entscheidendes Problem mit dem Ausklammern. Daher versuche ich es so:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\left(3x^{2}+2kx \right)}_{A} \cdot \underbrace{e^{-x}}_{C}+ \underbrace{\left(x^{3}+kx^{2} \right) }_{B}\cdot \left(-\underbrace{e^{-x}}_{C} \right) \end{eqnarray*}$

Da steht jetzt eine Summe

$\begin{eqnarray*} A\cdot C+B\cdot (-C) \end{eqnarray*}$

Schaffst Du es, hier $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auszuklammern?

Zur Aufgabe 3 komme ich später gesondert.

19.03.2022, 15:40

Lion96

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RE: Analysis- Übungsklausur
So?
Verrechne ich jetzt die -1 mit der anderen Klammer?

19.03.2022, 15:46

Lion96

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Könntest du mir eventuell auch bei diesem Übungszettel helfen?
[1b, 2 a,b,c , 3a, c) und 4 a,b,c ] Ich blicke da auch nicht ganz durch und nächste Woche wäre schon die Klausur.

19.03.2022, 15:58

Lion96

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die aufgabe 3b habe ich mithilfe des Taschenrechners gelöst. Rauskommen sollte ca. 2,385 FE. Ist das korrekt ?

19.03.2022, 15:59

klauss

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RE: Analysis- Übungsklausur
Zum Ausklammern: Stimmt wieder nicht. Die -1 beziehen sich nur auf den 2. Summanden.
Ich hatte gehofft, dass Du zunächst die Trockenübung mit der $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ -Summe machst, dann müßtest Du anschließend nur aus der realen Gleichung richtig einsetzen.

Ich schau mir auch gern die anderen Aufgaben an, aber die hiesige Termumformung ist eine absolut unverzichtbare Grundvoraussetzung für jede Rechnerei, weshalb Du das gerade angesichts der drohenden Klausur im Eigeninteresse bis zum Schluß durchziehen solltest.

Inzwischen kann ich zumindest sagen, dass die Lösungen zur 3a x=0 und x=8 sind.
-8 ist keine Lösung.

19.03.2022, 16:28

Lion96

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Stimmt. Das war ein Vorzeichnenfehler meinerseits. da kommt +8 und 0 heraus

C(A-B) ?

19.03.2022, 16:29

klauss

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Zitat:

Original von Lion96
die aufgabe 3b habe ich mithilfe des Taschenrechners gelöst. Rauskommen sollte ca. 2,385 FE. Ist das korrekt ?

Die Lösung müßte stimmen (bzw. gerundet 2,386). Ich habe es mir nur maschinell berechnen lassen, weil ich keine Lust auf den Papierkram hatte.
Vor Dir wird aber sicher noch erwartet, dass Du die benötigten Integrale vollständig angibst.

19.03.2022, 16:35

klauss

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Zitat:

C(A-B) ?

Das ist ja sehr schön. Insbesondere hast Du (endlich) auch erkannt, dass man das Minus im 2. Summanden mit dem Plus der Summe verrechnen kann.
Wenn Du jetzt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ durch die entsprechenden Terme der Ableitung ersetzt - und zwar exakt, mit sämtlichen runden Klammern - kannst Du nachher zum Ergebnis aus der Angabe aufräumen.

19.03.2022, 16:36

Lion96

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Zu den Integralen, wie ermitteln man die Grenzen, also ich meine nicht rechnerisch, sondern wie kommt man darauf welche Grenzen nun genau diese Fläche einrahmen?

19.03.2022, 16:44

klauss

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Zitat:

wie kommt man darauf welche Grenzen nun genau diese Fläche einrahmen?

Du mußt die Schnittstellen
- von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{2}(x) \end{eqnarray*}$
- von $\begin{eqnarray*} f_{4}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{2}(x) \end{eqnarray*}$
berechnen, somit folgende Gleichungen lösen:
- für $\begin{eqnarray*} x_{U} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x(x-2)^{2} =x \end{eqnarray*}$
- für $\begin{eqnarray*} x_{O} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x(x-4)^{2} =\frac{1}{2}x(x-2)^{2} \end{eqnarray*}$

Die Trennlinie dazwischen ist bei x=2.

19.03.2022, 17:15

Lion96

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Zur Aufgabe 2b) ist das minus so richtig?

und zur Aufgabe warum nicht g(x) zu f4
und f4 und f2 ?

19.03.2022, 17:22

Lion96

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ich meine warum nicht gx zu f2
f2 zu f4 , und f4 zu gx ?

19.03.2022, 17:31

klauss

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Zitat:

Zur Aufgabe 2b) ist das minus so richtig?

Ich zieh das mal hier rein:
[attach]54762[/attach]
Wenn Du das meinst, hast Du meine Forderung nach exaktem Einsetzen nicht beachtet.
1) In der $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ -Summe hast Du richtig neue Klammern gesetzt.
2) Wenn Du nun $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ exakt durch die realen Terme ersetzt, kommen deren Klammern hinzu.
3) Vor dem für $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eingesetzten Term steht das Minuszeichen.
4) Alles zusammen: $\begin{eqnarray*} \underbrace{e^{-x}}_{C}\left(\underbrace{\left(3x^{2}+2kx\right)}_{A} -\underbrace{\left(x^{3}+kx^{2} \right)}_{B} \right) \end{eqnarray*}$

19.03.2022, 18:08

Lion96

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Wenn ich die Klammer von
C(A-B) auflöse kommt AC-BC
und nicht AC+B(-C)

Irgendwie irritiert mich diese Aufgabe, da ich nicht verstehe wo diese (-1) hin soll.

19.03.2022, 18:08

klauss

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Zitat:

Original von Lion96
ich meine warum nicht gx zu f2
f2 zu f4 , und f4 zu gx ?

Auch eine unklare Frage.
Du kannst Dir gern die Mühe machen, die Schnittstelle von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{4}(x) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, aber durch Probieren aufgrund des Graphen bekommt man leicht x=2.

19.03.2022, 18:12

klauss

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Zitat:

Wenn ich die Klammer von
C(A-B) auflöse kommt AC-BC
und nicht AC+B(-C)

$\begin{eqnarray*} AC-BC~=~AC+B(-C)~~ !!! \end{eqnarray*}$

Wir sollten darauf nicht länger herumreiten, aber Du solltest diese Regeln in freier Zeit dringendst intensiv üben.

19.03.2022, 18:19

Lion96

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Wie hast du das denn probiert ? auf dem taschenrechner?

19.03.2022, 18:23

Lion96

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Die Aufgaben auf dem Übungszettel habe im Allgemeinen verstanden, auch das Zeichnen. Danke.

Könntest du mir auch bei dem anderen Übungszettel helfen? Da steige ich kaum durch.

19.03.2022, 18:27

klauss

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Zitat:

Wie hast du das denn probiert ?

Die Schnittstelle x=2 ?
Die habe ich angesichts des Graphen vermutet und dann festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} g(2)=f_{4}(2)=2 \end{eqnarray*}$
Sowas kann ich im Kopf ausrechnen.

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