Geschenke auf Personen verteilen

18.03.2022, 14:29

Sam:)

Geschenke auf Personen verteilen

Hey!
Auf einer Tombola mit n Personen und k Geschenken k>n soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass jeder Teilnehmer mindestens ein Geschenk bekommt.
Mein Ansatz:
Für auf die k Geschenke (Fächer) kann man n Personen (Teilchen) verteilen. Damit jeder mind eins bekommt muss das ohne Mehrfachbesetzung passieren. Dafür gibt es k!/(n-k)! Möglichkeiten. Insgesamt gibt es k^n Möglichkeiten, also ingesamt ist die Wahrscheinlichkeit k!/((n-k)!k^n)
Mein Gefühl sagt mir aber, dass das falsch ist. Kann mir jemand helfen?

18.03.2022, 16:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sam
Damit jeder mind eins bekommt muss das ohne Mehrfachbesetzung passieren.

Unsinn: Im Fall $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ gibt es zwangsläufig Leute mit mehr als einem Geschenk. unglücklich

Das mit den $\begin{eqnarray*} k^n \end{eqnarray*}$ ergibt ebenfalls wenig Sinn: Man bildet doch nicht die Leute auf Geschenke ab (nach diesem Prinzip würde man hier dank "mit Wiederholung" auch mehrere Leute auf dasselbe Geschenk abbilden können...) sondern umgekehrt Geschenke auf Leute.

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Das Ergebnis ist ein wenig komplizierter: $\begin{eqnarray*} p_{n,k} = \frac{1}{n^k}\sum_{j=0}^{n-1}(-1)^j \binom{n}{j}(n-j)^k = \frac{1}{n^k}\sum_{i=1}^n(-1)^{n-i} \binom{n}{i} i^k \end{eqnarray*}$ .

Berechnet wird dies mit der Siebformel, angewandt auf die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ... Person $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ bekommt KEIN Geschenk

für $\begin{eqnarray*} i=1,2,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ liefert die Formel - wie nicht anders zu erwarten - den Wert $\begin{eqnarray*} p_{n,k}=0 \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ geht es auch einfacher als oben, da kommt schlicht $\begin{eqnarray*} p_{n,n} = \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ heraus.

Bei all dem setze ich folgende Verlosungs-Modalitäten voraus: Bei der Verlosung eines jeden Geschenkes sind alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Personen wieder gleichberechtigt in der Lostrommel, ganz egal wieviel Geschenke sie vorher erhalten haben mögen.

18.03.2022, 18:41

Sam:)

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okay. Danke!

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