Erwartungswert

18.03.2022, 17:23

Rudi567

Erwartungswert

Meine Frage:
Ein Quadrat mit vier Ecken A,B,C,D. Angenommen, man startet von der Ecke A und hat die gleiche Chance, zu den benachbarten Ecken B und D zu gelangen; nachdem man eine neue Ecke erreicht hat, hat man wiederum die gleiche Chance, zu den beiden benachbarten Ecken zu gelangen. Die Zeit, die man für jede Kante benötigt, ist 1. Wie lange dauert es durchschnittlich, bis man wieder bei A ankommt?

Meine Ideen:
Wie kann ich hier vorgehen. Mir ist nur aufgefallen, dass die verstrichene Zeit gerade sein muss, um wieder bei A zu landen

18.03.2022, 17:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rudi567
Mir ist nur aufgefallen, dass die verstrichene Zeit gerade sein muss, um wieder bei A zu landen

Richtig. Bezeichnen wir diese zufällige Schrittzahl mit $\begin{eqnarray*} 2X \end{eqnarray*}$ , dann entspricht Ereignis $\begin{eqnarray*} \left\{2X=2k\right\} = \left\{X=k\right\} \end{eqnarray*}$ dem Szenario, dass in dem Zustandsgraph

$\begin{eqnarray*} A \longleftrightarrow \{B,D\} \longleftrightarrow C \end{eqnarray*}$

nach dem ersten Eintreffen im mittleren Zustand $\begin{eqnarray*} \{B,D\} \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ -mal ununterbrochen der Weg nach C gewählt wird, dann beim $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten mal aber der Weg nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Die Wahrscheinlichkeit dafür ist $\begin{eqnarray*} P(X=k) = \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist eine geometrisch verteilten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X\sim \operatorname{Geo}\left(p\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Für die gilt $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{1}{p}=2 \end{eqnarray*}$ und demzufolge für unsere gesuchte Anzahl $\begin{eqnarray*} E(2X) = 4 \end{eqnarray*}$ .

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