Münzwurf

18.03.2022, 20:05

Rudi567

Münzwurf

Meine Frage:
Eine Münze wird n mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine gerade Anzahl an "Zahl"en auftritt?

Meine Ideen:
Die Wahrscheinlichkeit müsste doch $\begin{eqnarray*} P("Gerade Anzahl Zahl") = \frac{1}{2}^n \sum\limits_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n\choose2k} \end{eqnarray*}$ sein oder. Ich komme mit dem Summenterm allerdings nicht weiter.

18.03.2022, 20:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rudi567 (LaTeX korrigiert)
Die Wahrscheinlichkeit müsste doch $\begin{eqnarray*} P(\mbox{''Gerade Anzahl Zahl''}) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \sum\limits_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n\choose2k} \end{eqnarray*}$ sein oder.

Ja, die Formel stimmt. Es stimmt aber ebenso, dass sich das zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vereinfachen lässt, und zwar für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

18.03.2022, 20:26

Rudi567

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Geht das über meine Summenformel oder hast du einen anderen Weg?

18.03.2022, 20:51

HAL 9000

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, z.B. über den Binomischen Satz etwa.

Mir gefällt eine andere, rekursive Variante besser: Sei $\begin{eqnarray*} X_k=1 \end{eqnarray*}$ falls der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Wurf Zahl ist, sonst $\begin{eqnarray*} X_k=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ die Anzahl "Zahl" bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfen. Mit $\begin{eqnarray*} p_n:=P\left(S_n\mbox{ gerade }\right) \end{eqnarray*}$ kann man dann für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ rechnen

$\begin{eqnarray*} p_n &=& P\left(S_n\mbox{ gerade und }X_n=0\right) + P\left(S_n\mbox{ gerade und }X_n=1\right) = P\left(S_{n-1}\mbox{ gerade und }X_n=0\right) + P\left(S_{n-1}\mbox{ ungerade und }X_n=1\right)\\ &=& P\left(S_{n-1}\mbox{ gerade }\right)\cdot P\left(X_n=0\right) + P\left(S_{n-1}\mbox{ ungerade }\right)\cdot P\left(X_n=1\right) = p_{n-1}\cdot \frac{1}{2} + \left(1-p_{n-1}\right)\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ist im ersten Moment womöglich verblüffend, dass die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} p_{n-1} \end{eqnarray*}$ letztlich völlig verschwindet - ist aber tatsächlich so. Augenzwinkern

18.03.2022, 21:59

Leopold

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Es sei $\begin{align*} \mathbb{Z}_2 = \{0,1\} \end{align*}$ der Körper der ganzen Zahlen modulo 2. Wir können den $\begin{align*} n \end{align*}$ -fachen Münzwurf durch den $\begin{align*} \mathbb{Z}_2 \end{align*}$ -Standardvektorraum $\begin{align*} \Omega = \left( \mathbb{Z}_2 \right)^n \end{align*}$ als Laplace-Raum modellieren und für "Zahl" etwa 1 nehmen. $\begin{align*} e_1 \end{align*}$ sei der Einheitsvektor mit 1 in der ersten Koordinate und Nullen sonst. Jetzt betrachte man die Translation

$\begin{align*} \varphi: \ \Omega \to \Omega \, , \ \ \omega \mapsto \omega + e_1 \end{align*}$

Offenbar ändert das bijektive $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ die Anzahl der Einsen in $\begin{align*} \omega \end{align*}$ von geradzahlig (Ereignis $\begin{align*} A \end{align*}$ ) in ungeradzahlig (Ereignis $\begin{align*} \bar{A} \end{align*}$ ) und von ungeradzahlig in geradzahlig:

$\begin{align*} \varphi(A) = \bar{A} \, , \ \ \varphi \left( \bar{A} \right) = A \end{align*}$

Das Ganze ist etwas hochtrabend formalisiert. Ich hätte auch einfach sagen können: Tausche im ersten Wurf "Zahl" und "Wappen" und laß den Rest.

18.03.2022, 22:03

HAL 9000

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Interessant ist noch, dass man selbst bei einer gezinkten Münze mit $\begin{eqnarray*} P(X_k=1)=p \end{eqnarray*}$ sich mit geometrischer Geschwindigkeit hin zu Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ bewegt:

In diesem allgemeineren Fall ist nämlich $\begin{eqnarray*} P\left(S_n\mbox{ gerade }\right) = \frac{1+(1-2p)^n}{2} \end{eqnarray*}$ .

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