Newton Interpolation mit Umkehrfunktion

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Simonx Auf diesen Beitrag antworten »
Newton Interpolation mit Umkehrfunktion
Guten Abend habe folgende Aufgabe gelöst .

Ich bin mir nicht so sicher ob ich das Polynom richtig aufgestellt habe ,da ja hier von Umkehrfunktion gesprochen wird ?
Wie kommt man auf das Polynom hier ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Du musst in der Tabelle x und y (f(x)) (bzw. die Überschriften) vertauschen, da die Umkehrfunktion zu erstellen ist.
Also x0 = 1; x1 = 2; x2 = 4 und f(xi) = 0; 2; 4 als die zugehörigen Funktionswerte.

Offensichtlich hast du dann während der Rechnung doch noch eine Vertauschung vorgenommen, aber falsche x0- und x1- Werte eingesetzt.

Es ist nämlich

( sind deine )

und nach den Regeln der Newton-Interpolation*
Somit kommt:

Diese Zeile deckt sich fast mit deiner letzten Zeile, die c-Koeffizienten (es sind KEINE x-Werte!) hast du richtig,
aber bei den x-Werten in der Klammer hast du dich vertan.

(*) Ein Hinweis, wie die c-Werte berechnet werden können: Nach Newton lautet die zugehörige Matrixgleichung





Es liegt eine untere Dreiecksmatrix vor, womit das System gut zu lösen ist.

mY+
Simonx Auf diesen Beitrag antworten »

hmm habe ich dann richtig gerechnet ?

f(x) = y damit ist doch dann sozusagen der Wert von x0 gemeint oder ?

0,2,4 sind sozusagen die Stützstellen oder ?
Simonx Auf diesen Beitrag antworten »

Ist diesen Matrix die du da geschrieben hast ein Alternativer Weg für die Berechnung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simonx
hmm habe ich dann richtig gerechnet ?

f(x) = y damit ist doch dann sozusagen der Wert von x0 gemeint oder ?

0,2,4 sind sozusagen die Stützstellen oder ?


Nein, eben nicht. Wir haben doch die Umkehrfunktion zu bearbeiten!
Die Stützstellen dort sind 1, 2 und 4, deren entsprechende Funktionswerte dort lauten 0, 2 und 4
Das habe ich dir in meinen vorigen Antworten aber auch schon geschrieben!

Zitat:
Original von mYthos
...
Somit kommt:

Diese Zeile deckt sich fast mit deiner letzten Zeile, die c-Koeffizienten (es sind KEINE x-Werte!) hast du richtig,
aber bei den x-Werten in der Klammer hast du dich vertan.
...


Zitat:
Original von Simonx
Ist diesen Matrix die du da geschrieben hast ein Alternativer Weg für die Berechnung?


Ja! Es ist ein alternativer Weg zu der Methode mit den dividierten Differenzen.

Übrigens, in deinem anderen Thread werde ich dir auch gleich noch antworten, denn bei habe ich ein anderes Resultat.

mY+
Simonx Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich dann hier sozusagen nochmal rechnen ?

Bin ein wenig verwirrt Big Laugh
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du nicht, kannst du aber - der Übersichtlichkeit und der Übung wegen.

Schreibe die Wertetabelle der Umkehrfunktion richtig an (x: 1, 2, 4 || y: 0, 2, 4)
Deine Gamma-Werte stimmen dann, du hast nur die Polynomgleichung zu berichtigen, so wie schon 2x geschrieben!

[attach]54775[/attach]

In der Grafik findest du auch die Antwort auf den Aufgabenteil ii
p2(x) (dies ist immer noch die Umkehrfunktion) wird bis zur y-Achse fortgesetzt und der dortige Schnittpunkt an y = x (1. Mediane) gespiegelt.
Das ist dann die Nullstelle der ursprünglichen Funktion f

mY+
Simonx Auf diesen Beitrag antworten »

Hier auch nochmal alles schön gerechnet .

Wie gebe ich diese Näherung bei der ii an ?

Hast du tipps?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Tipps? Hast du dies eventuell im Vorpost übersehen?

Zunächst: Dei Polynom p2(x) ist richtig. Es gibt die Umkehrfunktion an, wir suchen aber die Nullstelle der ursprünglichen Funktion.
Daher schneiden wir den Graphen p2(x) mit der y-Achse und der y-Wert des Schnittpunktes ist gleichzeitig die gesuchte Nullstelle der Umkehrfunktion von p2(x), d.h. wieder der ursprünglichen Funktion.
So weit verstanden? Wie lautet nun die Nullstelle? Es steht auch im Wesentlichen so im Vorpost.

mY+
Simonx Auf diesen Beitrag antworten »

Daher schneiden wir den Graphen p2(x) mit der y-Achse und der y-Wert des Schnittpunktes ist gleichzeitig die gesuchte Nullstelle der Umkehrfunktion von p2(x), d.h. wieder der ursprünglichen Funktion.

Verstehe ich leider nicht so ganz ?

Wie lautet den meine ursprüngliche Funktion ?

Ich habe ja nur p2(x) sozusagen berechnet
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die ursprüngliche Funktion ist nicht bekannt und die kriegst du ja auch nicht, das ist ja der Witz der Sache.
Dennoch kann man aus dem y-Abschnitt der Umkehrfunktion die Nullstelle der ursprünglichen Funktion ablesen.
Schaue dir bitte nochmals die Grafik an, die ich in dem vorvorigen Post eingestellt habe, dann kannst du dir dies besser vorstellen.

2(x - 1) - (1/3)(x - 1)(x - 2) = y
Setze x = 0 und berechne y ....

mY+
Simonx Auf diesen Beitrag antworten »

y = -8/3

Ist das die Näherung oder wie ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, -8/3 ist der exakte Schnittpunkt von p2(x) mit der y-Achse und gleichzeitig näherungsweise die Nullstelle der nur durch die Stützstellen angegebenen unbekannten ursprünglichen Funktion.

Der Weg ist also folgender:

- Die ursprüngliche Funktion ist nur durch die Stützstellen angegeben.
- Wir kehren die x- und y- Koordinaten um (vertauschen sie) und haben damit die Stützstellen der Umkehrfunktion.
- Von dieser wird das Näherungspolynom p2(x) bestimmt.
- Dessen Schnittpunkt mit der y-Achse ist die Nullstelle der ursprünglichen gegebenen Funktion

mY+
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