Eine bestimmte divergente Folge finden

18.03.2022, 21:58

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine bestimmte divergente Folge finden

Meine Frage:
Die Frage lautet:
"Finde eine divergente Folge, welche konvergiert, wenn man diese divergente Folge hoch drei nimmt"
Anders ausgedrückt: Ich suche eine divergente Folge, die folgendes erfüllt: Sei (an) die gesuchte divergente Folge, wobei n der Laufindex ist mit n gegen unendlich. Wähle die divergente Folge (an) derart, dass ((a^3)n) konvergiert.

Meine Ideen:
Ich hab mir viele Gedanken gemacht, komme aber nicht drauf. Meine Gedanken waren:
- Erst mal ist die gesuchte divergente Folge entweder beschränkt (und z.B. alternierend) oder unbeschränkt. Kann ja beides sein
- Sowas wie 1/n oder (-1)^n fällt weg, weil hoch drei das Vorzeichen da nicht ändert
- ein Gedanke von mir war (an)=x^i, weil i^3=-i und somit THEORETISCH (x^i)^3=1/(x^i). x^i hätte THEORETISCH also Grenzwert unendlich und 1/(x^i) hätte Grenzwert Null. Aber ich weiß nicht, ob das stimmt und ich kann es nicht prüfen

18.03.2022, 22:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte schon fragen "Sind auch komplexe Zahlen zugelassen?", aber das hast du ja nun schon bestätigt. Na dann nimm doch einfach $\begin{eqnarray*} a_n = \exp\left(\frac{2}{3}\pi n i\right) \end{eqnarray*}$ .

19.03.2022, 11:42

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktioniert nicht?

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich wollte schon fragen "Sind auch komplexe Zahlen zugelassen?", aber das hast du ja nun schon bestätigt. Na dann nimm doch einfach $\begin{eqnarray*} a_n = \exp\left(\frac{2}{3}\pi n i\right) \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank erst mal!! Also, ich wähle (an) so wie vorgeschlagen. Dann kann ich berechnen:
an = e^((2/3)*pi*n*i)=e^((pi*i)*(2/3)*n)=(-1)^(2*n), was in der Tat divergiert.
Wenn ich aber jetzt (a^3 n) berechne, erhalte ich ebenfalls (-1)^(2*n), was immer noch divergiert.
Missverstehe ich etwas oder mache ich was falsch?

Sobald ich herausfinde, wie ihr diese schöne Darstellung hinkriegt, probier ich das auch smile

smile

Hab schon gesehen, dass hier jemand schrieb, dies sei Latex. Ich bediene mich der Einfachheit halber noch der normalen Schreibform und hoffe, das ist OK

19.03.2022, 11:46

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erkläre uns mal deinen letzten Umformungsschritt in der Gleichung.
HAL hat eine Folge komplexer Zahlen angegeben, Du eine Folge ganzer Zahlen.

19.03.2022, 11:54

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Letzten Schritt erklären
Ich versuchs mal:

an = e^((2/3)*pi*n*I)
Wir wissen: e^(pi*i)=-1
Und wir wissen: (-1)^(1/3)=-1
Und: n ist aus den natürlichen Zahlen

Damit ist
an = e^((2/3)*pi*n*i) = (e^(pi*i*))^((2/3)*n) = (-1)^((2/3)*n) = (-1)^(2*n)

(an)^3 = (e^((2/3)*pi*n*i))^3 = e^(3*(2/3)*pi*n*i) = (e^(pi*i*))^(3*(2/3)*n) = (-1)^(2*n)

Ich habs umgeformt. Vielleicht missverstehe ich etwas oder mache einen Rechenfehler, den ich nicht kenne unglücklich

unglücklich

19.03.2022, 12:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe mal die algebraische Darstellung der Folge an: Sie ist periodisch mit Periode 3 und nimmt folgende Werte an

$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} 1 &\mbox{ für }n=3k\\ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} &\mbox{ für }n=3k+1\\ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} &\mbox{ für }n=3k+2\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

was (oh Wunder) die drei dritten Einheitswurzeln im Komplexen sind. Daher ist $\begin{eqnarray*} a_n^3 = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

19.03.2022, 13:00

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Was?
Ich hab im vorangegangenen Kommentar einen Rechenschritt vergessen: Ich muss oben natürlich noch (-1)^(2*n) auflösen zu 1^n=1, damit konvergiert (an), statt zu divergieren. Denkfehler, hab die 2 ignoriert.

Zu deiner Antwort: Jetzt steige ich gar nicht mehr durch! unglücklich

unglücklich

Ich kenne die Defintion e= (1*1/n)^n
Daraus folgt, dass e^pi = (1*1/n)^(n*pi) und damit e^(pi*i)=(1+i*(pi/m))^m = -1

Wenn ich jetzt für n beliebige Zahlen einsetze, gilt für die Multiplikation im Exponenten doch immer noch das Kommutativgesetz. Also mit n beispielsweise n = 3k+1:

e^((2/3)*pi*(n*i)= e^((2/3)*pi*(3k+1)*i) = (e^(pi*i*))^((2/3)*(3k+1)) = (-1)^((2/3)*(3k+1)) = (-1)^(2*(3k+1))=1^(3k+1)

Wenn ich den Gedanken weiterverfolge, sehe ich nicht, dass für beliebiges n sich der Wert von an ändert, er scheint bei 1 zu bleiben. Damit wärs konvergent, nicht divergent.
Und dann wäre auch 1^3 = 3.

Ich hoffe, ich konnte meine Wissenslücken so gut erklären, dass meine Ratlosigkeit etwas verständlicher wird unglücklich

unglücklich

19.03.2022, 14:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hauptfehler deiner "Rechnungen" ist, dass du das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^{bc} = \left(a^b\right)^c \end{eqnarray*}$ anscheinend als allgemeingültig im Bereich der komplexen Zahlen ansiehst. Da liegst du aber sowas von daneben. unglücklich

unglücklich

Nach dieser Meinung könnte man so argumentieren: Für BELIEBIGE $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} = e^{2\pi i\cdot \frac{\varphi}{2\pi}} \stackrel{?}{=} \left(e^{2\pi i}\right)^{\frac{\varphi}{2\pi}} = 1^{\frac{\varphi}{2\pi}} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Offenkundig ist $\begin{eqnarray*} \stackrel{?}{=} \end{eqnarray*}$ i.a. falsch. Finger1

Finger1

Für GANZZAHLIGE $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a^{bc} = \left(a^b\right)^c \end{eqnarray*}$ , aber darauf beschränkst du dich in deinen Anwendungen ja leider nicht. unglücklich

unglücklich

19.03.2022, 18:03

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

2 Fragen dazu
Okay, also gelten die normalen Gesetze teilweise nicht im Komplexen. Die Erklärungen sind sehr gut, vielen Dank.

1. Frage:
Wie würde ich das Ganze sonst berechnen/nachrechnen, wenn das Kommutativgesetz dort nicht gilt?

2. Frage:
Der Einfachheit halber, weil ich in R besser rechnen kann und in C so gut wie keine Erfahrung habe und wir das in der Schule noch nicht hatten: Gibt es eine reelle Folge wie in der ganz am Anfang gestellten Frage? Also eine divergente Folge in R, die hoch drei konvergiert?

21.03.2022, 12:53

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es nicht: Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=t^3 \end{eqnarray*}$ ist als Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Reellen bijektiv und stetig, ebenso ist ihre Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(t) = \sqrt[3]{t} \end{eqnarray*}$ stetig, damit folgt aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n^3 = g \end{eqnarray*}$ unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{g} = f^{-1}\left( \lim_{n\to\infty} a_n^3\right) = \lim_{n\to\infty} f^{-1}\left(a_n^3\right) = \lim_{n\to\infty} \sqrt[3]{a_n^3} = \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ ,

Widerpruch zur Annahme einer konvergenten Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n^3\right)_n \end{eqnarray*}$ bei gleichzeitig divergentem $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_n \end{eqnarray*}$ .

Im Komplexen, d.h. als Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{C}\to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ betrachtet ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hingegen nicht bijektiv, damit funktioniert diese Argumentation dort nicht.

P.S.: $\begin{eqnarray*} \left(a^b\right)^c = a^{bc} \end{eqnarray*}$ wird nicht als Kommutativgesetz bezeichnet. Ehrlich gesagt kenne ich gar keinen speziellen Namen dafür, da kann aber vielleicht jemand anderes aushelfen.

21.03.2022, 13:14

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön
Vielen Dank, der Beweis ist einleuchtend. Schade, dass ich auf so etwas noch nicht komme.

Können Sie mir zum Verständnis vielleicht noch vorrechnen, wie ich bei Ihrer vorgeschlagenen Funktion auf die Werte komme, die Sie ausgerechnet haben? Ich komme bei jedem n auf 1, was ja offenkundig falsch ist. Wie würde ich bei e^komplex rechnen? Bzw. wie würde ich im Komplexen auf Ihre Funktionswerte kommen bzgl n=3k,3k+1,3k+2

21.03.2022, 14:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dankeschön
Die Multiplikationsregel $\begin{eqnarray*} a^b \cdot a^c = a^{b+c} \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ , daher hat man für NATÜRLICHE Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a^b\right)^n = \underbrace{a^b \cdot a^b\cdot \ldots \cdot a^b}_{n-\mbox{mal}} = a^{b+b+\ldots+b} = a^{nb} \end{eqnarray*}$ ,

d.h., hier für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt das Gesetz, wie von mir oben schon erwähnt. Aber Obacht: Nur in die Richtung gilt es, d.h. $\begin{eqnarray*} a^{nb} \stackrel{?}{=} \left(a^n\right)^b \end{eqnarray*}$ ist bereits wieder eine unzulässige Folgerung, sofern $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht ganzzahlig ist.

Damit gilt dann auch $\begin{eqnarray*} \left(e^{\frac{2}{3}\pi n i}\right)^3 = e^{\frac{2}{3}\pi n i\cdot 3} = e^{2\pi n i} = 1 \end{eqnarray*}$ .

21.03.2022, 16:15

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine letzte Frage

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich gebe mal die algebraische Darstellung der Folge an: Sie ist periodisch mit Periode 3 und nimmt folgende Werte an

$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} 1 &\mbox{ für }n=3k\\ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} &\mbox{ für }n=3k+1\\ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} &\mbox{ für }n=3k+2\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

Ich meinte eigentlic dies: Ich habe versucht, diese drei Werte herauszubekommen, wenn ich für n=3k,3k+1,3k+2 einsetze.

Also: an = e^((2/3)*pi*n*i) = e^((2/3)*pi*(3k+1)*i) = e^((2*(3k+1)/3)*pi*i = e^((2*pi*i*3k + 2*pi*i)/3) = ...

Mich verunsichert die Rechnung sehr, weil ich nicht weiß, wie ich da mit der Multiplikation umgehen soll und welche e^exponent besondere Werte haben. Z.B. ist e^(2*pi*i) = 1, aber ich finde keine Liste, wo mehr solcher "besonderen Werte" angegeben sind. Oder kann man die selbst herleiten?

21.03.2022, 16:22

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_{3k+1} = \exp\left(\frac{2}{3}\pi (3k+1) i\right) = \exp\left(2k\pi i + \frac{2}{3}\pi i\right) = \exp\left(2k\pi i\right)\cdot \exp\left(\frac{2}{3}\pi i\right) = \exp\left(\frac{2}{3}\pi i\right) = \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) + i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$

Das sind Grundlagenkenntnisse komplexer Zahlen.

21.03.2022, 16:34

Tomatenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
Ich suche danach und schaue mal, ob ich ein leichtes Lehrbuch über komplexe Zahlen finde. Und am besten auch nochmal Cosinus und Sinus ... da kenne ich nur Grundlagen, aber keine besonderen Werte.

Ganz herzlichen Dank, das hat sehr sehr geholfen! Gott

Gott

Tanzen

Ich wünsche Ihnen einen schönen Abend

21.03.2022, 18:24

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein besseres Buch für Einsteiger und Fortgeschrittene in die komplexen Zahlen und die Funktionentheorie kenne ich nicht : https://www.amazon.de/Anschauliche-Funkt...ormat=4&depth=1

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »