Pferdeparadox

19.03.2022, 01:13

Pippen

Pferdeparadox

Kennt jmd. diese Spielerei des Induktionsprinzips: https://de.wikipedia.org/wiki/Pferde-Paradox?

Was ich mich frage ist folgendes: Wenn man bereits mit n = 0 als Induktionsschritt beginnt und dort feststellt, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben, wenn‘s kein Pferd gibt (leere Wahrheit), dann müsste der Beweis funktionieren, oder? Denn wenn ich den Beweisfehler richtig verstehe, dann liegt er letztendlich darin, dass die leere Menge bzw. Null nicht definiert ist.

19.03.2022, 07:30

Helferlein

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Nein denn wie bereits in dem Wiki-Artikel steht funktioniert der Schritt nur für n>1.
Für n=0 und n=1 ist zwar die Voraussetzung der gleichen Farbe korrekt, aber es lässt keinen Schluss auf die Gültigkeit für n=2 zu.

19.03.2022, 15:52

Pippen

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Zitat:

Original von Helferlein
Nein denn wie bereits in dem Wiki-Artikel steht funktioniert der Schritt nur für n>1.
Für n=0 und n=1 ist zwar die Voraussetzung der gleichen Farbe korrekt, aber es lässt keinen Schluss auf die Gültigkeit für n=2 zu.

Wir haben ein Pferd p1, welches trivial gleichfarbig ist, d.h. die Menge M1 = {p1}.
Nun nehmen wir ein weiteres Pferd p2 hinzu, also M2 = {p2}, auch trivial gleichfarbig.
Auch M = {} (n=0) ist so, dass darin alle Pferde gleichfarbig sind.
Weil M1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ M2 = {}, so folgt, dass sowohl M1 als auch M2 die Farbeigenschaft von {} haben müssen, und das war: gleichfarbig.
Damit wäre auch für n=2 die Farbgleichheit der Pferde bewiesen und danach so weiter wie im Wikipedia-Artikel.

Ich finde daher den Beweis korrekt, wenn er die leere Menge mit rein nimmt. Das Problem des Beweises ist für mich die Induktionsannahme: n Pferde sind gleichfarbig. Na klar, wer sowas annimmt, der darf sich nicht wundern, wenn alle Pferde gleichfarbig sind.

19.03.2022, 16:58

IfindU

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Gleichfarbig ist keine Eigenschaft eines Individuums, sondern eines Kollektivs. Und ich verstehe deinen "Beweis" absolut nicht. Nehmen wir etwas konkreteres. Sei $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ ein braunes und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ ein weißes Pferd:

Alle Pferde im Kollektiv $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ sind rot.
Alle Pferde im Kollektiv $\begin{eqnarray*} \{p_1\} \end{eqnarray*}$ sind braun.
Alle Pferde im Kollektiv $\begin{eqnarray*} \{p_2\} \end{eqnarray*}$ sind weiß.

Das sind alles richtige Aussagen. Aber weil $\begin{eqnarray*} \{p_1\} \cap \{p_2\} = \{\} \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} p_1, p_2 \end{eqnarray*}$ beides rote Pferde sind? verwirrt

19.03.2022, 17:21

Pippen

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Ja, du hast recht. Für n=0 folgt die Wahrheit der Gleichfarbigkeit der Pferde aus der Tatsache, dass Falsches -> X immer wahr ist, doch damit beginnen wir unseren Beweis mit Falschem und dabei kann im weiteren Verlauf alles Mögliche rauskommen. Deshalb ist der erste Fall zurecht n=1 und da klappt es nicht.

19.03.2022, 18:05

IfindU

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Nein. Alle Pferde in $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ sind rot. Sie sind auch blau und violett. Das ist eine wahre Aussage, eine triviale Aussage. Wenn sie falsch ist, so kannst du mir mir ein Pferd in $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ angeben, das nicht rot ist?

19.03.2022, 18:33

laila49

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Das erinnert mich an das BAFÖG-Paradox, das wir zu meiner Studentenzeit bewiesen haben.

Behauptung: Das BAFÖG ist zu niedrig.

Beweis durch vollständige Induktion nach der Höhe des BAFÖG.

Anfang: 1€ Bafög ist zu niedrig (trivial, hat sogar der Kultusminister eingesehen)

Annahme: für alle n < N gilt: N € Bafög ist zu niedrig.

Dann folgt leicht: N+1 € Bafög ist zu niedrig, weil mit dem einen Euro mehr kann man wirklich keine großen Sprünge machen. q.e.d.

sollte ein Skeptiker mit dieser Beweisführung nicht einverstanden sein, kann man die Induktion auch nach der Anzahl der Cent durchführen, dann wird es noch klarer.

19.03.2022, 22:32

Pippen

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Zitat:

Original von IfindU
Nein. Alle Pferde in $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ sind rot. Sie sind auch blau und violett. Das ist eine wahre Aussage, eine triviale Aussage. Wenn sie falsch ist, so kannst du mir mir ein Pferd in $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ angeben, das nicht rot ist?

Ja, die Aussage ist wahr, weil der Antecedens aus "Wenn's ein Pferd, dann ist es rot" falsch ist. Wieso wird aber in dem Paradox dann mit n=1 begonnen? Irgendwie muss der Fall n=0 stören, sonst würde man damit beginnen.

20.03.2022, 09:38

IfindU

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Formell fängt man bei $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ an, damit man in der Induktionsannahme mit $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ arbeiten darf. Damit wirkt die Argumentation schlüssliger. Außerdem ist man dann mit dem "falschen" Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} n=1 \implies n=2 \end{eqnarray*}$ direkt am Herzen des Paradoxons.

Andere Gründe: Man startetmit $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ , weil der Fall $\begin{eqnarray*} n =0 \end{eqnarray*}$ offenbar verwirrt und Eigenschaften der leeren Menge nicht der Fokus des Paradoxon ist. Alternativ auch, weil 0 je nach Autor mal eine natürliche Zahl ist und mal nicht.

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