Übungszettel für Vektorrechnung - Seite 2

20.03.2022, 22:29

Lion96

Entschuldige, aber ich habe die Wege 3 mal ausprobiert und bin nicht auf (3 4 0) gekommen.
Mir ist daher nicht bewusst, wie man das rechnet, wirklich nicht.

ich habe OA + 1/2 * AB gerechnet und komme auf (5 4 0)

ich verstehe nicht wie ich darauf kommen soll und erst recht den Mittelpunkt einer Strecke,weder wie du das rechnest.

Scheinbar benutzen wir andere Rechenwege….

21.03.2022, 07:53

Gualtiero

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Zitat:

Original von Lion96
ich habe OA + 1/2 * AB gerechnet und komme auf (5 4 0)

Der Ansatz ist richtig, also solltest Du auch auf das richtige Ergebnis kommen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4-1 \\ 3+1 \\ 0+0 \end{pmatrix} = . . . \end{eqnarray*}$

Oder: $\begin{eqnarray*} OB-\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2+1 \\ 5-1 \\ 0-0 \end{pmatrix} = . . . \end{eqnarray*}$

PS: Ich habe bei allen meinen Beiträgen den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \text{Punkt } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{ Ortvektor} \end{eqnarray*}$ vernachlässigt. Ich hoffe, Du verstehst den Unterschied.

22.03.2022, 19:27

Lion96

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Die Strecke MS wäre im Prinzip doch:

OS + 1/2 * S richtig ?

oder müsste es heißen OS+1/2*AS / BS ?

22.03.2022, 22:09

Gualtiero

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Ich durchschaue Deine Überlegungen bzw. Ansätze einfach nicht.

Nennen wir den Mittelpunkt auf der Strecke AB $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OM} \end{eqnarray*}$

Mach Dir das auch anhand der Skizze in der Angabe klar !

22.03.2022, 22:27

Lion96

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das habe ich leider nicht verstanden..Ich habe das jetzt eingezeichnet, die rote Linie wäre ja jetzt das was du meinst richtig, also die Hälfte der Dreieckseite
Warum benutzt man für die Berechnung nicht die blaue Linie?

22.03.2022, 22:44

Gualtiero

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Bleiben wir bei EINER Methode, nämlich dieser:

Zitat:

Original von Lion96
1/2 * g * h =A

Also kann ich für
g = AB
und h= Wurzel aus . . . .

Den Betrag von |AB| hast Du ja schon irgendwo ausgerechnet.
Jetzt berechne Vektor MS, dann davon den Betrag, und Du hast $\begin{eqnarray*} \text{Grundseite} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{dazugehörige Höhe} \end{eqnarray*}$ eines Dreiecks. Damit berechnest Du die Fläche.

22.03.2022, 23:12

Lion96

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ich habe jetzt:

(-1/-1/5) * (3/ 4 / 0) * 0.5
= wurzel aus 27* 5 * 0.5

Ich komme hier auf ein anderes Ergebnis.

22.03.2022, 23:29

Gualtiero

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Ich mache es kurz, denn ich muss mich verabschieden für heute.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\-1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für Vektor MS ist richtig.

Aber (3 4 0) hat nichts mit $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ zu tun, der ist nämlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\2 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Davon berechne den Betrag bzw. die Grundseite des Dreiecks.

23.03.2022, 09:28

Gualtiero

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Ergänzung
Um auf diesen Beitrag näher einzugehen:

Zitat:

Original von Lion96
(1). . . Ich habe das jetzt eingezeichnet, die rote Linie wäre ja jetzt das was du meinst richtig, also die Hälfte der Dreieckseite

(2) . . . Warum benutzt man für die Berechnung nicht die blaue Linie?

[attach]54828[/attach]

zu (1) Was die rot eingezeichnete Linie betrifft, hast Du Recht; es ist die Höhe des Dreiecks.

zu (2) Man kann hier für das Kreuzprodukt auch zwei andere Vektoren kombinieren:
AB mit BS
SA mit SB.

Im Fall, dass man alle dreie Seiten eines Dreiecks kennt, kann man die Flächenformel von Heron benutzen. Aber dafür mach einen eigenen Thread auf, wenn Du wilst. Jetzt bleiben wir bei Vektorrechnung, da hast Du noch einiges aufzuholen.

Kommentar zu Untitled(4).pdf
[attach]54829[/attach]

23.03.2022, 15:51

Lion96

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RE: Ergänzung
Ich habe das Ergebnis nun raus.

Was soll ich deiner Meinung nach zur vektorrechnung aufholen?

Also ich hatte auch die Aufgabe 4c) erledigt.

23.03.2022, 20:54

Gualtiero

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Das Ergebnis ist richtig.

Zitat:

Was soll ich deiner Meinung nach zur vektorrechnung aufholen?

Na alles, wozu Du Fragen gestellt hast. Geh die Aufgabe nochmal durch.
Z.B. den Mittelpunkt zwischen zwei bekannten Punkten zu errechnen solltest Du mit Links können.

23.03.2022, 21:38

Lion96

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Also ich ich es verstanden der Mittelpunkt einer Strecke wäre ja im Prinzip immer : (OA) + 1/2 (AB)

Ich verstehe iwie nicht wieso wir den Mittelpunkt von MS so gerechnet haben, also ich würde in der Klausur darauf niemals kommen, weil ich es mir nicht herleiten kann weder erklären.

Also MS=(OS)-(AB)
Aber wieso?

23.03.2022, 22:01

Gualtiero

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Zitat:

Original von Lion96
Also ich ich es verstanden der Mittelpunkt einer Strecke wäre ja im Prinzip immer : (OA) + 1/2 (AB)

Wenn man etwas nicht versteht, gibt es die Notlösung, sich diesen Weg einfach einzuprägen, ihn auswendig zu lernen, damit man bei Prüfungen darauf zugreifen kann - das wäre mein Tipp.

Übrigens gibt es eine mMn einfachere Methode, zwischen zwei Punkten den Mittelpunkt bzw. seinen Ortsvektor zu finden:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM_{AB}}=\frac{1}{2} \cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Also MS=(OS)-(AB)
Aber wieso?

Falsch!

Richtig ist: MS = (OS) - (OM)
Einfach die Differenz zweier Ortsvektoren, das gehört aber zum Grundwissen in Vektorrechnen. Zu meiner Zeit hatten wir den Merkspruch: "Spitze minus Schaft."
Wieso ist Dir das unklar? Du hast doch auch (AB) und (AS) berechnet, das geht auf die gleiche Weise.

24.03.2022, 17:50

Lion96

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Na weil wir praktisch den Vektor S von der Strecke AB abziehen und somit nicht die Höhe hätten.
eig müsste laut der skizze, S orthogonal zu AB sein.
Ich sehe anhand der Skizze leider nicht, wie man darauf kommt, dass man das so wie du rechnen soll.

24.03.2022, 21:27

Gualtiero

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Da kann ich Dir nur raten: üben, üben und nochmal üben. Ich hab keine Ahnung, ob Du die Möglichkeit dazu hast, aber kleine Lerngruppen halte ich für optimal; im direkten Gespräch lassen sich solche Theman viel besser abhandeln.

Die Pyramidenaufgabe ist ein schönes Beispiel, um das Verständnis für Addition und Subtraktion von Vektoren zu festigen. Du kannst noch weitere Punkte/Ortsvektoren berechnen, z. B. die Mittelpunkte der vier Grundseiten und der zwei Diagonalen. die Ergebnisse kannst Du sofort selbst kontrollieren.

Nochmal zu Vektor MS:

OM + MS = OS | - OM

MS = OS - OM

24.03.2022, 22:09

Lion96

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Ich finde im Vergleich dazu die Formel mit dem Parallelogram und halbieren einfacher nachzuvollziehen.

Könntest du eventuell, das in der Skizze anzeichnen wie du darauf gekommen bist ?

24.03.2022, 23:37

klauss

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RE: Übungszettel für Vektorrechnung
Um mal wieder mit einzusteigen:
Die Aufgaben sind deshalb so schwere Geburten, weil Du mit den grundlegenden Eigenschaften von Vektoren nicht vertraut bist. Dabei hat gerade die Geometrie den Vorteil, dass man sich durch räumliches Vorstellungsvermögen vieles selbst zusammenbasteln kann, z. B. indem man sich überlegt, wie man durch Aneinanderreihung von Pfeilen im Raum von einem Punkt zum anderen gelangt bzw. welcher Pfeile man sich dabei bedienen muß.
Die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke auswendig zu lernen, ist eigentlich völlig überflüssig, weil man mit dem passenden Vektorzug jederzeit automatisch den Mittelpunkt findet.

Lektion 1)
[attach]54847[/attach]

$\begin{eqnarray*} \vec{A} \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvektor zum Punkt A.
$\begin{eqnarray*} \vec{B} \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvektor zum Punkt B.
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ ist der Verbindungsvektor von A nach B.
Beachte jeweils, wohin die Spitze zeigt.

Ich starte im Ursprung O und mache die Rundreise
$\begin{eqnarray*} \vec{A}+\vec{AB}-\vec{B}=\vec{0} \end{eqnarray*}$
d. h. Startpunkt=Endpunkt.
Aus Gleichungsumstellung folgt
$\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A} \end{eqnarray*}$

Lektion 2)

[attach]54848[/attach]

M ist der Mittelpunkt der Strecke AB.
$\begin{eqnarray*} \vec{M} \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvektor zum Punkt M.

Weg 1: $\begin{eqnarray*} \vec{A}+\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{M} =\vec{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{M}=\vec{A}+\frac{1}{2}\vec{AB} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{M}=\vec{A}+\frac{1}{2}\left(\vec{B} -\vec{A} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{M}=\vec{A}+\frac{1}{2}\vec{B} -\frac{1}{2}\vec{A} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{M}=\frac{1}{2}\vec{A}+\frac{1}{2}\vec{B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{M}=\frac{1}{2}\left(\vec{A}+\vec{B}\right) \end{eqnarray*}$

Weg 2: $\begin{eqnarray*} \vec{B}-\frac{1}{2}\vec{AB}-\vec{M} =\vec{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~... \end{eqnarray*}$
Der Rest bleibt Dir überlassen.

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