Diskrete Verteilung

19.03.2022, 21:35

Bison999

Diskrete Verteilung

Leute wollte mich mit euch an eine neue Aufgabe ran machen

Woran erkenne ich denn um welche Verteilung es sich handelt ?

19.03.2022, 22:03

Bison999

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Handelt es sich um eine Binomialverteilung ?

19.03.2022, 22:04

mYthos

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Der angegebene Term sollte dich an "Binomialkoeffizienten" erinnern!
Welche Verteilung könnte das wohl sein?

mY+

19.03.2022, 22:08

Bison999

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Zitat:

Original von Bison999
Handelt es sich um eine Binomialverteilung ?

Passt die Antwort ?

20.03.2022, 01:01

Bison999

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Was meinen die mit Parameter ?

20.03.2022, 02:47

mYthos

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Zitat:

Original von Bison999
Handelt es sich um eine Binomialverteilung ?

Ja.

Wenn dies nun erkannt ist, kennst du die Bedeutung der Zahlen k, (n=)2, 0.36, 0.64 (bzw. p und 1 -p)?
Mit anderen Worten, die Parameter der Binomialverteilung?
Wenn nicht, solltest du dich vorher über die Grundlagen einlesen, dann können wir dir Hilfe die Aufgabe betreffend erteilen.

Welche Kenntnisse du noch brauchst:
- Verteilungsfunktion (vs. Dichtefunktion)
- Zusammenhänge von n, p, 1-p, V (Varianz), E bzw. µ (Erwartungswert), s (sigma)
- Verschiebungssatz

mY+

20.03.2022, 10:31

Bison999

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Parameter :

n = 2

Anzahl des Ereignis eintretens B (n,p) = B( 2, 0,64)

Ist das p hier 0,64 oder 0.36 ?

Verstehe es irgendwie nicht?

20.03.2022, 14:11

mYthos

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Ja, das p = 0,36, ironischer Weise wurden die Faktoren vertauscht, nicht in die Falle tappen!
(Im Falle der Vertauschung resultiert eben dann die Gegenwahrscheinlichkeit)

P (X = k) = BV(k (X); n; p; 1/0 oder true/false); diese Funktion gibt eine Wahrscheinlichkeit zurück

x (X)... Zufallsvariable
n ... Anzahl der Versuche
k ... Anzahl der Erfolge
T (true, wahr, 1) ... kumuliert (Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ("von links" bis X), $\begin{eqnarray*} P(X \leq k) \end{eqnarray*}$
F (false, falsch, 0) .. einzelne Wahrscheinlichkeit P(X=k)
n, k (X) nur ganzzahlig, die BinomVerteilung ist eine diskrete Verteilung

Allgemein gilt: Die Flächenfunktion (bei kumulierter Berechnung/Summenbildung) unter der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion.
Sie gibt ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit zurück und hat im ganzen Definitionsbereich der Dichtefunktion am Ende den Wert 1.

[attach]54790[/attach]

Der Plot kann dies verdeutlichen.
Die Balkengrafik stellt die Dichtefunktion dar, die Treppenfunktion (welche maximal den Wert 1 annehmen kann) ist die Verteilungsfunktion.
Versuche nun selbst, die zu berechnenden Werte richtig zu ermitteln.

mY+

20.03.2022, 14:25

Bison999

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Soll ich bei der b) einfach für k= 1 einsetzen in die Funkiton und ausrechnen oder wie?

Woran erkennt man was das p ist?

20.03.2022, 14:41

mYthos

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Ja.
-------
p und (1-p) (p ist als Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben!) sind die Basen der Potenzen mit den Hochzahlen k und n-k

[attach]54791[/attach]

Ich habe jetzt noch eine Grafik eingefügt.
Vergleiche deine Resultate mit denen, die darin zu sehen sind.

mY+

20.03.2022, 15:27

Bison999

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Der Binomialkoeffizient verwirrt mich

Wie rechne ich das aus?

$\begin{eqnarray*} P(k=1) = \begin{pmatrix} 2 \\ k \end{pmatrix} *0.64^1*0.36^1 \end{eqnarray*}$

20.03.2022, 17:56

mYthos

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Hier ist ja k = 1, also ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Je nachdem, welche Mittel dir zur Verfügung stehen, geschieht das im Allgemeinen entweder manuell oder mit dem TR (Taschenrechner) oder .. (?)

Anmerkung zu speziellen Resultaten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deswegen ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac {8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56 \end{eqnarray*}$

Im Zähler und Nenner des Bruches sind stets gleich viele Faktoren.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird vorteilhaft so gerechnet.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac {n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ , das gilt allgemein; dort kann immer auch entsprechend gekürzt werden.

So. Was ergibt also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

mY+

20.03.2022, 18:09

Bison999

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1} = 2 \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen ?

20.03.2022, 18:54

mYthos

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Sicher!

20.03.2022, 19:13

Bison999

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F(1 ) = 0.4608

Wie berechne ich hier den Erwarungswert ?

20.03.2022, 19:59

mYthos

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Wie hast du F(1) berechnet? Hoffentlich nicht nur abgelesen. Bitte etwas ausführlicher.

Den Zusammenhang der Größen n, p, µ = E(X) (Erwartungswert) und der Varianz Var(X) könntest du mittels Suche leicht eruieren.

Es gilt:

µ = E(X) = n*p und Var(X) = n*p*(1 - p)

Damit solltest du weiterkommen!

mY+

20.03.2022, 23:19

Bison999

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E(X) = n*p = 2*0,36 = 0.72

Var(X) = n*p*(1-p) = 2*0.36*(1-0.36) = 0.46

Aber verstehe deine Erklärung nicht so ganz wie man weiss das p = 0.36 ist ?
Weil da nur ^k als Hochzahl steht ?

21.03.2022, 01:01

mYthos

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Ja, deswegen, genau so ist es smile

mY+

21.03.2022, 02:53

Bison999

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E(X^2) = n^2*p

Wird es so gerechnet ?

21.03.2022, 11:35

HAL 9000

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Nein. Am einfachsten ist es, die allgemeingültige Gleichung $\begin{eqnarray*} V(X) = E\left(X^2\right) - \left(E(X)\right)^2 \end{eqnarray*}$ umzustellen und die bereits bekannten Werte $\begin{eqnarray*} E(X),V(X) \end{eqnarray*}$ dann einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} E\left(X^2\right) = V(X) + \left(E(X)\right)^2 = np(1-p) + n^2p^2 \end{eqnarray*}$ .

21.03.2022, 18:00

Bison999

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Im Prinzip ist es nur ein wenig mit Zahlen herum spielen wenn man die Formeln kennt Big Laugh

Leider wurde uns halt in der Vorlesung nix erklärt , aber in der Klausur das 8 oder 9te Weltwunder erwartet

Bin euch sehr dankbar für eure Hilfe

Hier Ergebnis zur Überprüfung :

E(X^2) = 2*0.36*(1-0.36)+2^2*0.36^2 = 0.98

21.03.2022, 18:02

Exit007

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habt ihr tipps für d) ?

21.03.2022, 18:49

HAL 9000

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(d) Erwartungswert der Summe ist die Summe der Erwartungswerte. Und die Varianz einer Summe von UNABHÄNGIGEN Zufallsgrößen ist gleich der Summe der Varianzen. Das ergibt hier $\begin{eqnarray*} E(Y)=81 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V(Y) = 42.25 \end{eqnarray*}$ . Und nach ZGWS gilt dann näherungsweise $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}(81,42.25) = \mathcal{N}(81,6.5^2) \end{eqnarray*}$ , und Normalverteilungswahrscheinlichkeiten kannst du doch berechnen, oder?

21.03.2022, 19:25

EXITBison999

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Zitat:

Original von HAL 9000
(d) Erwartungswert der Summe ist die Summe der Erwartungswerte. Und die Varianz einer Summe von UNABHÄNGIGEN Zufallsgrößen ist gleich der Summe der Varianzen. Das ergibt hier $\begin{eqnarray*} E(Y)=81 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V(Y) = 42.25 \end{eqnarray*}$ . Und nach ZGWS gilt dann näherungsweise $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}(81,42.25) = \mathcal{N}(81,6.5^2) \end{eqnarray*}$ , und Normalverteilungswahrscheinlichkeiten kannst du doch berechnen, oder?

Wieso nennst du diese Werte E(Y) ?In der Beschreibung steht da ein X?

Wie kommst du da auf das 6.5^2 ?

Das ist die einzige Aufgabe zu dem Thema die ich habe . Wir haben diesen Themenbereich kaum weiter geübt

Normalverteilung : z = x-u/sigma ?

21.03.2022, 20:16

HAL 9000

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vielleicht vorher mal nachdenken...

Zitat:

Original von EXITBison999
Wieso nennst du diese Werte E(Y) ?In der Beschreibung steht da ein X?

In der Beschreibung steht $\begin{eqnarray*} Y = X_1+X_2+\ldots+X_{100} \end{eqnarray*}$ . Und GENAU AUF DIESE Größe beziehe ich mich, schließlich soll ja auch $\begin{eqnarray*} P(Y\leq 87.825) \end{eqnarray*}$ berechnet werden. Forum Kloppe

21.03.2022, 21:22

Bison999

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Weisst du wie ich das jetzt berechnen kann?

21.03.2022, 22:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von EXITBison999
Das ist die einzige Aufgabe zu dem Thema die ich habe . [...] Weisst du wie ich das jetzt berechnen kann?

Du hast NIE eine Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsberechnung einer Normalverteilung gerechnet? Ich hatte angenommen, so was wird bereits in der Schule gelehrt??? geschockt

21.03.2022, 22:56

Bison999

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Also ich habe das in der Schule nicht gemacht

Normalverteilung : z = x-u/sigma ?

21.03.2022, 23:17

mYthos

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@Bison999
Ich denke, du müsstest dich ähnlich wie bei der BinomVerteilung auch in die NormaVerteilung einlesen bzw. dich damit auch näher befassen.
"Mit Zahlen herumspielen und in fertige Formeln einsetzen", deren Sinn dir verschlossen bleibt, ist es auf Dauer nicht getan.

Fassen wir nochmals kurz zusammen:
Die Y-Werte resultieren aus der Summe von 100 Xi-Werten, deren Eigenschaften sich dem Y-Wert mitteilen, wie von HAL bereits beschrieben..

E(Y) = 100 * 0.81 = 81
V(Y) = 100 * 0.4225 = 42.25 und wegen $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = Var \text{ ist } \sigma = 6.5 \end{eqnarray*}$

Und nun ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(Y \leq 87.825) = NV(87.825; 81; 6.5; 1) \end{eqnarray*}$

Und dazu brauchst du eine Rechenhilfe! Welche Mittel stehen dir zur Verfügung? GTR, Phi-Tabelle (Std-NormV) oder CAS?

EDIT: Wie ich sehe, könntest du mit der PHI(Z)-Tabelle rechnen?

mY+

21.03.2022, 23:41

Bison999

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Ich habe nur das

[attach]54816[/attach]

Hilft das ?
Wo gucke ich genau nach?

Edit (mY+): Die beiden anderen nicht zutreffenden Tabellen wurden entfernt.

21.03.2022, 23:55

mYthos

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Zuvor musst du einmal das entsprechende Z mittels der Transformation

$\begin{eqnarray*} Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

berechnen, indem du die gegebenen Werte dort einsetzt!
Was erhältst du? Damit gehen wir dann in die PHI-Z - Tabelle.

(Übrigens, die von dir angegebene Formel ist falsch. Warum? Tipp: Syntax-Fehler, es fehlt etwas!)

EDIT:
Es kommt für diese Aufgabe nur die mittlere Tabelle zum Einsatz.
Hier heißt sie PHI(X) der N(0; 1)-Verteilung (Standard-Normalverteilung), auch als PHI(Z)-Tabelle bekannt.
Die beiden anderen erlaube ich mir zu löschen.

BTW: Weshalb sind deine Fotos so schlecht? Damit die Bilder halbwegs zu sehen sind, muss ich sie immer herunterladen und vergrößern.
OK, das letzt Foto war annehmbar Augenzwinkern

mY+

22.03.2022, 00:13

Bison999

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$\begin{eqnarray*} Z = \frac{X - \mu}{\sigma} =\frac{X - 81}{6.5} = .... \end{eqnarray*}$

Was für ein Wert ist den X?

22.03.2022, 00:18

mYthos

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Nun, WOVON - von welcher Zufallsvariablen - soll die W'keit berechnet werden?
Hier heißt sie halt zufällig Y. Big Laugh

mY+

22.03.2022, 00:29

Bison999

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100?

22.03.2022, 00:52

mYthos

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Die 100 Xi sind schon längst summiert und bilden den EW = 81.
Was ist denn gefragt? $\begin{eqnarray*} P(Y \leq 87.825) \end{eqnarray*}$

Hier darfst du ruhig Y anstatt X in die Transformationsformel einsetzen.
Wie schon gesagt, du solltest den Zusammenhang verstehen, was sich hinter der Formel verbirgt und dass hier eben das Y denselben Stellenwert hat wie X

Also für X setze 87.825 und sage nun, was für Z herauskommt. Dieser Wert wird dann in der Tabelle nachgeschlagen, das ergibt das gesuchte P

mY+

22.03.2022, 02:27

Bison999

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$\begin{eqnarray*} Z = \frac{X - \mu}{\sigma} =\frac{87.825 - 81}{6.5} = 1.05 \end{eqnarray*}$

Ich runter auf 1.0 gegangen und dann 5 nach rechts ?
Den Wert 0.8531

In Ordnung?

22.03.2022, 09:27

mYthos

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Ja, genau so! smile

[attach]54818[/attach]

mY+

22.03.2022, 13:41

Bison999

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Das ist dann sozusagen diese Näherung ?

22.03.2022, 17:41

mYthos

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