Suchrichtung berechnen

20.03.2022, 18:42	JimmyBoy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Suchrichtung berechnen Guten Tag , habe hier diese Aufgabe berechnet und wollte wissen ob der Rechenweg so stimmt ? $\begin{eqnarray} F`(X) = 1- \frac{4x}{(x^2-2)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 = x_0 - \frac{F(0)}{F`(0)} = 0 - (-1) = 1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 1 - \frac{-1}{-3} = 2/3<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_0 = 1-0 = 1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_1 = x_2 - x_1 = 2/3 - 3/3 = - 1/3<br /> \end{eqnarray}$
20.03.2022, 22:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Von deiner Seite stimmen alle Ergebnisse, bestens! Jedoch ist (vom Aufgabensteller) der Startpunkt denkbar schlecht gewählt, den von dort wird die tatsächliche Nullstelle (= (~ -1.77, 0) nicht erreicht, das Verfahre konvergiert dort NICHT. Bei ungünstiger Wahl des Startwertes besteht also die Gefahr, dass die Iteration in weiterer Folge divergiert. Ein guter Startwert wäre x0 = -2, dabei sind bis zu dF<0.000001 ungefähr 5 bis 6 Iterationsschritte nötig. [attach]54804[/attach] [attach]54807[/attach] [attach]54806[/attach] Die letzte Grafik zeigt die Divergenz bei Start mit x(0) ! mY+
21.03.2022, 10:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht soll das mit dem Startwert $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ auch nur verdeutlichen, dass das Newton-Verfahren sehr empfindlich auf eine "falsche" Wahl des Startwerts reagiert, d.h., dass ein sorgloses Herangehen a la "wird sich schon irgendwann mal in Richtung Nullstelle bewegen" bei vielen Funktionen nicht angebracht ist. Am sichersten fährt man hier mit einem Startwert zwischen der Nullstelle $\begin{eqnarray} x^ \end{eqnarray}$ (von der wir am Anfang natürlich nicht genau wissen, wo sie liegt) und der Polstelle $\begin{eqnarray} -\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Konvexität der Funktion in diesen Bereich konvergiert damit die Newton-Iteration sogar monoton fallend gegen $\begin{eqnarray} x^* \end{eqnarray}$ . Alles andere kann brandgefährlich sein: mYthos' Wahl $\begin{eqnarray} x_0=-2 \end{eqnarray}$ klappt. weil wir im nächsten Schritt dann schon $\begin{eqnarray} x_1 \in (x^, -\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ haben, und der Rest schön monoton abläuft. Aber bereits eine Wahl von $\begin{eqnarray} x_0=-3 \end{eqnarray}$ führt zu einem chaotischen Zickzackkurs, und erst nach 10 Schritten gelangt man zufällig in dieses Einfangintervall $\begin{eqnarray} (x^, -\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ .
21.03.2022, 16:24	JimmyBoy1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leute
21.03.2022, 16:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin gerade beim Erstellen einer zusätzlichen Information. Für die Nullstellenberechnung einer gebrochenen Funktion genügt - mit Restriktionen* - auch die Untersuchung des Zählers. Die Funktionsgleichung wird deswegen auf den gemeinsamen Nenner gebracht und im Weiteren nur der Zähler auf Nullstellen untersucht. Denn aus Z(x) / N(x) = 0 folgt Z(x) = 0 Es ist dann $\begin{eqnarray} \frac 2 {x^2 - 2} + x = \frac{x^3 - 2x + 2}{x^2 - 2} \end{eqnarray}$ Damit kommt man zu der Nullstellenbestimmung von $\begin{eqnarray} x^3 - 2x + 2 = 0 \end{eqnarray}$ , die sich - auch schon angesichts der einfacheren Ableitung - wesentlich angenehmer als bei der ursprünglichen Funktionsgleichung gestaltet. Allerdings ist der Startwert x = 0 (Wendepunkt) auch hier NICHT geeignet (!) () - Keine gemeinsamen Linearfaktoren (oder Terme in x) im Zähler und im Nenner - Nullstelle des Zählers nicht im Definitionsbereich, zb. f(x) = x/(Wurzel(x-1)) mY+ Grafik folgt! [attach]54808[/attach] Der gestrichelte rote Graph ist die gegebene Funktion, dunkelgrün ist das Zählerpolynom. Man sieht sofort, dass dabei die Wahl des Startwertes völlig unproblematisch ist, man könnte sogar $\begin{eqnarray} - \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ nehmen Grundsätzliches zum Newton-Verfahren und den Problematiken im nächsten Beitrag.
21.03.2022, 21:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt einige Gründe, weswegen das Newton-Verfahren nicht konvergieren kann. 1. Der Startwert ist zu weit von der Nullstelle entfernt. 2. In unmittelbarer Nähe der Nullstelle befindet sich ein Wendepunkt, 3. Zwischen Startwert und Nullstelle befindet sich eine Polstelle oder sonstige Unstetigkeitsstelle. Daher ist es essentiell, sich vor Berechnung der Nullstelle ein Bild vom Graphen der Funktion zu machen. Um einen (günstigen) Startwert zu finden, wird innerhalb des in Frage kommenden Intervalls eine Wertetabelle in kleinen Schritten erstellt. Der Startwert liegt nun in jenem Intervall, an dessen Enden ein Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten stattfindet. Der Startwert ist möglichst als x-Wert des kleineren absoluten Funktionswertes zu wählen. Denn je näher man sich beim Startwert an die tatsächliche Nullstelle heranbewegt, desto geringer wird der Rechenaufwand. Beim Newtonverfahren ist vorher noch die Ableitung der Funktionsgleichung zu berechnen, währenddessen die Regula Falsi diese nicht benötigt. Leider sind jedoch bei der Regula Falsi bzw. Bisektion meistens mehr Iterationsschritte nötig, sodass der Rechenaufwand schnell steigt. Die Anzahl der Iterationsschritte ist natürlich auch von der geforderten Genauigkeit (Fehlertoleranz/Abbruchbedingung) abhängig. Anstatt der Ableitung kann - bei Funktionen mit komplexen Ableitungsfunktionen - auch der Differenzenquotient verwendet werden, wenn die Differenz delta-x hinreichend klein (konstant und im Bereich 10-4) ist. Dies ist besonders bei automatengestützten Rechenmethoden von Vorteil, diese finden die Nullstelle dann ebenso schnell (ohne mehr Itererationsschritte) und brauchen dazu keine Ableitung. Im Falle das Newton-Verfahren fehlschlägt, kann man auf die Regula Falsi (Sekantenverfahren) oder Bisektion (Intervallhalbierung) übergehen. ------------ Um nochmals auf die Aufgabenstellung einzugehen: Die Eingrenzung eines Intervalls für die fragliche Nullstelle geschieht in mehreren Schritten: - Erstellung einer Wertetabelle und damit Skizzieren des Graphen - Die Wertetabelle im Bereich der vermuteten Nullstelle verfeinern, auf Vorzeichenwechsel prüfen. Das ist in der Grafik in der Tabelle oben, zwischen -1,8 und -1,785. - Wahl des Startwertes, dieser ist eine der Grenzen des Intervalls, in dem der Vorzeichenwechsel stattgefunden hat. Deswegen fangen wir mit -1,75 an! (Dies ist in der Grafik in der Tabelle unten) - Berechnung der Funktions- und der Ableitungswerte an den jeweiligen Stellen, Ausführung der Iteration - Abbruch der Iteration, wenn der Fehler (Differenz zweier aufeinanderfolgender x-Werte) kleiner als ein vorgegebener Toleranzwert ist. [attach]54813[/attach] mY+
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »