Übungen 1.34

19.03.2022, 10:41	Xanthin78	Auf diesen Beitrag antworten »
Übungen 1.34 Einen schönen guten Morgen zusammen, ich hoffe bei euch scheint auch die Sonne. Hier eine größere Menge an Aufgaben. In der Lösungs-Pdf sind zwar die meisten Lösungen enthalten, aber nicht alle. Daher werde ich alles zur Kontrolle hier posten. Anmerkung Ich habe einige Bilder erstellt, da hier die Anzahl auf 5 begrenzt ist, und ich nicht jedes Bild auf einer Seite für Images hochladen will, habe ich das Bildmaterial in eine ZIP-Datei gepackt, und weiter unten gebe ich Hinweise welches Bild relevant ist. Vielleicht kann man hier noch cleverer posten aber ich weiß nicht wie. Wenn es im erweiterten Modus geht, funktioniert dieser nicht wegen Addblockern oder ich bin aufgrund meines Ranges noch nicht freigeschaltet habe. Aufgaben 1.34 (i) Es sei $\begin{eqnarray} X = \{x \in \mathbb{Z}~\|~0 \leq x \leq 10 \} \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ seien die Teilmengen $\begin{eqnarray} A=\{0,2,4,6,8,10\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B=\{2,3,5,7\} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} A \cap B,~~~A \cup B,~~~A \setminus B,~~~B \setminus A,~~~A \times B,~~~X \times A,~~~A^c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ~B^c \end{eqnarray}$ (ii) Bestimmen Sie Vereinigung und Durchschnitt von $\begin{eqnarray} X = \{x \in \mathbb{R}~\|~x^2-9x+14=0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y = \{y \in \mathbb{Z}~\|~3 \leq y < 10\} \end{eqnarray}$ . (iii) Es seien $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Untersuchen Sie die folgenden Mengen anhand von Beispielen: ( Anmerkung : Bei den Lösungen zeige ich vorher welche Mengen ich genommen habe ) (a) $\begin{eqnarray} ~~~(A \cap B) \cup (A\cap C) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \cap (B \cup C) \end{eqnarray}$ , (b) $\begin{eqnarray} ~~~(A \cup B) \cap (A\cup C) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \cup (B \cap C) \end{eqnarray}$ , (c) $\begin{eqnarray} ~~~(A \cup B)^c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \cap B^c \end{eqnarray}$ , (d) $\begin{eqnarray} ~~~(A \cup B)^c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \cup B^c \end{eqnarray}$ , (e) $\begin{eqnarray} ~~~(A \cap B)^c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \cup B^c \end{eqnarray}$ , (f) $\begin{eqnarray} ~~~(A \cap B)^c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^c \cap B^c \end{eqnarray}$ . Fällt Ihnen etwas auf ? (iv) Ein Venn-Diagramm ist eine nützliche Methode, um Mengen darzustellen. Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, können wir beispielsweise Folgendes zeichen. Siehe Zip-Datei das Bild Beispiel 1 für Übungen 1.34 iv Wenn $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eine weitere Teilmenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, können wir sie ebenfalls in das Diagramm einzeichnen. Hier haben wir die Schnittmengen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ markiert: Siehe Zip-Datei das Bild Beispiel 2 für Übungen 1.34 iv (a) Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm für den Fall, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sich nicht schneiden (b) Zeichnen Sie Venn-Diagramme wie das obige und markieren Sie $\begin{eqnarray} A \cup B,~~~A^c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ~(A \cap B)^c \end{eqnarray}$ (c) Zeichnen Sie sich drei überschneidene Kreise, die drei Mengen $\begin{eqnarray} A, B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ repräsentieren. Markieren Sie den Durchschnitt $\begin{eqnarray} A \cap B \cap C \end{eqnarray}$ . (d) Zeichnen Sie Venn-Diagrammen für Übung (iii ), und markieren Sie die jeweiligen Mengen (Anmerkung auch hier verwende ich meine ausgewählten Mengen für Übunng ( iii ) (v) Analysieren Sie, wie dieses Kapitel gelesen haben. (a) Falls das Material in diesem Kapitel neu für Sie war: Haben Sie versucht, alles zu verstehen? (b) Falls Sie dem Material in diesem Kapitel schon früher begegnet sind: Haben Sie kontrolliert, dass ich keine Fehler gemacht habe? Lösungen (i) $\begin{eqnarray} A \cap B =\{2\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \cup B =\{0,2,3,4,5,6,7,8,10\} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A \cup B = X \setminus\{1,9\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \setminus B =\{0,4,6,8,10\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B \setminus A =\{3,5,7\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \times B =\{(0,2), (0,3), \dots, (10,5), (10,7)\} \end{eqnarray}$ Es sollten 24 Elemente sein. $\begin{eqnarray} X \times A =\{(0,0), (0,2), \dots, (10,4), (10,6)\} \end{eqnarray}$ Es sollten 66 Elemente sein. $\begin{eqnarray} A^c =\{1,3,5,7,9\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B^c =\{0,1,4,6,8,9,10\} \end{eqnarray}$ (ii) Vereinigung: $\begin{eqnarray} \{2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \end{eqnarray}$ Durchschnitt: $\begin{eqnarray} \{7\} \end{eqnarray}$ (iii) Folgende Mengen habe ich gewählt: $\begin{eqnarray} X = \{x \in \mathbb{Z}~\|~0 \leq x \leq 15 \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\{1,3,6,7,11\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\{2,4,6,8,10\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=\{8,9,11,13,15\} \end{eqnarray}$ a) beide Male ist das Ergebnins $\begin{eqnarray} \{6,11\} \end{eqnarray}$ b) beide Male ist das Ergebnins $\begin{eqnarray} \{1,3,6,7,8,11\} \end{eqnarray}$ c) beide Male ist das Ergebnins $\begin{eqnarray} \{0,5,9,12,13,14,15\} \end{eqnarray}$ d) hier kommt $\begin{eqnarray} \{0,5,9,12,13,14,15\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{0,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15\} \end{eqnarray}$ raus e) beide Male ist das Ergebnins $\begin{eqnarray} \{0,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15\} \end{eqnarray}$ f) hier kommt $\begin{eqnarray} \{0,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{0,5,9,12,13,14,15\} \end{eqnarray}$ raus Mir fällt auf das bei a), b), c) und e) bei verschiedenen Schreibweisen die gleiche Menge rauskommt. Bei d) und f) ist dies nicht der Fall. In der Lösungs-PDF schreibt der Autor dass die Mengen immer gleich sind ausser bei d) und f), dass schließt aber nicht aus, das es auch Beispiele gibt bei den d) und f) gleich sind. (iv) (a) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv a (b) 1) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv b1 2) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv b2 3) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv b3 (c) 2) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv c (d) ( iii ) a) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv d iii a ( iii ) b) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv d iii b ( iii ) c) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv d iii c ( iii ) d) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv d iii c und Lösung zu Übung 1.34 iv d iii d ( iii ) e) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv d iii d ( iii ) f) siehe Bild: Lösung zu Übung 1.34 iv d iii d und Lösung zu Übung 1.34 iv d iii c (v) Hier muss der Lesende die Frage für sich selber beantworten. Ich persönlich habe mich eher bei a) eingeordnet und habe versucht alles zu verstehen, bei b) hätte ich nicht kontrolliert ob der Autor Fehler gemacht hat Danke im Voraus für eure Kontrolle Viele Grüße Xanthin Edit Equester: Abgetrennt von "Wie man mathematisch denkt" Lösung ok ? damit das jungfräulich aussieht.

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