Runge-Kutta mit exakter Lösung

22.03.2022, 14:46

Exit007

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Runge-Kutta mit exakter Lösung

Habe bei dieser Aufgabe mit Runge Kutta wieder ein Problem

Woher weiss ich ob das L stabil ist ?

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + \beta_1h*k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = f( t_j+ \gamma_1*h; u_j +h*(3/5k_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = \frac{\gamma u_j}{(1-\gamma h3/5)} \end{eqnarray*}$

Stabilitätsfunktion

$\begin{eqnarray*} RQ = (1 + \frac{q}{(1-q 3/5)}) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das mit der DGL mit der exakten Lösung machen?

22.03.2022, 16:20

Huggy

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung

Zitat:

Original von Exit007
Woher weiss ich ob das L stabil ist ?

Das musst du mit der Stabilitätsfunktion prüfen. Das Verfahren muss A-stabil sein und die Stabilitätsfunktion muss eine zusätzliche Bedingung erfüllen. Mein Rat: Überprüfe erst mal die zusätzliche Bedingung.

Zitat:

Wie soll ich das mit der DGL mit der exakten Lösung machen?

Das geht doch aus dem Aufgabentext hervor. Du sollst die exakte Lösung an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ mit der Näherung an dieser Stelle vergleichen. Dazu setzt du $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ in die exakte Lösung ein und du hast $\begin{eqnarray*} y(2) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} t_0=1 \end{eqnarray*}$ ist und die Schrittweite $\begin{eqnarray*} h=1/2 \end{eqnarray*}$ , brauchst es $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Schritte bei der Näherung, um von $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ kommen. Berechne also erst $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ und vergleiche dann wie verlangt $\begin{eqnarray*} y(2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ .

22.03.2022, 18:03

Exit007

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Was ist genau diese zusätzliche Bedingung ?
Uns wurde in dieser Hinsicht nicht so viel erklärt
Aber das Niveau ist natürlich trotzdem hoch Big Laugh

Big Laugh

22.03.2022, 18:22

Huggy

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Ihr habt doch sicher ein Skript, in dem ihr solche Dinge nachlesen könnt. Du findest die Bedingung auch hier

https://de.wikipedia.org/wiki/A-Stabilit%C3%A4t

im Abschnitt L-Stabilität.

22.03.2022, 19:13

Exit007

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung
$\begin{eqnarray*} RQ = (1 + \frac{q}{(1-q 3/5)}) \end{eqnarray*}$

Soll ich hier das lim q gegen -unendlich nehmen ?

Soll ich einfach oben

22.03.2022, 19:19

Huggy

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung
Ja. Wobei das korrekt geschrieben so aussieht:

$\begin{eqnarray*} R(q) = 1 + \frac{q}{1-\frac 3 5 q} \end{eqnarray*}$

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22.03.2022, 19:37

Exit007

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Geht der ganze Term nicht gegen 1 ?

1 + -unendlich / -unendlich = 1+0

Wenn der Nenner grösser wird dann geht der Bruch gegen 0?

22.03.2022, 19:48

Huggy

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Das stimmt so nicht.

Bei einer nur leicht heuristischen Betrachtung sieht man sich erst mal den Nenner des Bruches an. Geht $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , ist die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ im Nenner gegen den $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ -Term im Nenner vernachlässigbar und kann für den Grenzwert weggelassen werden. Danach kürzt sich $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ weg und der Grenzwert steht da. Etwas exakter ist es, den Bruch erst mal durch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ zu kürzen. Danach steht $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nur noch an einer Stelle und man sieht sofort, wohin der verbleibende $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ -Term geht.

22.03.2022, 20:11

Exit007

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung
Was meinst du mit kürzen ?
Hier mein ANsatz
Warum kürzt sich q weg?

$\begin{eqnarray*} R(q) = 1 + \frac{-unendlich}{1-\frac 3 5 -unendlich} \end{eqnarray*}$

22.03.2022, 20:33

Huggy

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung
Weshalb schreibst du im Nenner plötzlich zwischen $\begin{eqnarray*} 3/5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ein Minuszeichen. Die werden doch multipliziert.

Erst mal die leicht heuristische Rechnung: Für große $\begin{eqnarray*} |q| \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} 1- \frac 3 5 q \approx -\frac 3 5 q \end{eqnarray*}$

Also ist für große $\begin{eqnarray*} |q| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(q) \approx 1+ \frac q {-\frac 3 5 q}=1+\frac 1 {-\frac 3 5} \end{eqnarray*}$

Die exaktere Variante:

$\begin{eqnarray*} R(q) = 1+ \frac q {1-\frac 3 5 q}=1+\frac 1 {\frac 1 q- \frac 3 5} \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{q \to -\infty} \frac 1 q =0 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{q \to -\infty} R(q)=1+\frac 1 {0-\frac 3 5}=1+\frac 1 {-\frac 3 5} \end{eqnarray*}$

Das wirst du jetzt sicher ausrechnen können.

22.03.2022, 20:39

Exit007

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Habe eine frage hast du nur den rechten Bruch mit q dividiert ?

Aber kann man da einfach die 1 links vernachlässigen bei der exakten Variante?

Den Wert ausrechnen ist natürlich Spielerei Big Laugh

Big Laugh

22.03.2022, 20:45

Huggy

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Ich habe den Bruch nicht dividiert, sondern gekürzt. Das ist etwas völlig anderes. Und die 1 vor dem Bruch habe ich nicht vernachlässigt, sondern unverändert stehen gelassen.

22.03.2022, 20:55

Exit007

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Meinte hier Huggy?

22.03.2022, 21:40

Huggy

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Zitat:

Original von Exit007
Meinte hier Huggy?

???

22.03.2022, 22:25

Exit007

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung
Huggy meinte wie du bei dem Bild oben auf die Vereinfachung gekommen bist

$\begin{eqnarray*} k_1 = f( t_j+ \gamma_1*h; u_j +h*(3/5k_1) \end{eqnarray*}$

Soll ich nicht wie bei den anderen Aufgaben die rechte Seite in DGL einsetzen ?

Allerdings verwirrt mich da dieses gegebene y(t) , wo setze ich das ein ?

Für das y in der DGL?

23.03.2022, 08:40

Huggy

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung

Zitat:

Original von Exit007
Huggy meinte wie du bei dem Bild oben auf die Vereinfachung gekommen bist

Ich stelle keine Fragen an mich selbst! So verkalkt bin ich noch nicht. Falls du das aber fragst, wiederhole ich, ich habe den Bruch durch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gekürzt. Wenn man sich mit Runge-Kutta beschäftigt, sollte Bruchrechnung doch bekannt sein. Kürzen heißt, Zähler und Nenner eines Bruches durch denselben Term teilen. Das ändert den Wert des Bruches nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac a b =\frac {\frac a T}{\frac b T} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k_1 = f( t_j+ \gamma_1*h; u_j +h*(3/5k_1) \end{eqnarray*}$

Soll ich nicht wie bei den anderen Aufgaben die rechte Seite in DGL einsetzen ?

Allerdings verwirrt mich da dieses gegebene y(t) , wo setze ich das ein ?

Ich sehe kein $\begin{eqnarray*} \gamma (t) \end{eqnarray*}$ . Ich sehe ein $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ . Dessen Wert ist dem Butcher-Schema zu entnehmen. Das ist auch schon bei Teilaufgabe a) zu machen. Bei früheren Aufgaben hast du das noch gekonnt. Wo ist jetzt das Problem\

Übrigens: In deinem speziellen $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ ganz zu Anfang für die DGL der Stabilitätsfunktion sollte nicht $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ stehen, sondern $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

23.03.2022, 13:42

Exit007

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung
$\begin{eqnarray*} k_1 = f( t_j+ 3/5*1/2; u_j +1/2*(3/5k_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = f( t_j+ 3/10; u_j +(3/10k_1) \end{eqnarray*}$

Besser wieder Schritt für Schritt Big Laugh

Big Laugh

Soll ich diesen Term dann in DGL einsetzen ?

23.03.2022, 14:22

Huggy

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RE: Runge-Kutta mit exakter Lösung
Ja, die rechte Seite von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ ist jetzt für das gegebene $\begin{eqnarray*} f(t,y) \end{eqnarray*}$ der zu betrachtenden DGL hinzuschreiben. Anschließend ist die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

Schritt für Schritt ist gut!

23.03.2022, 14:50

Exit007

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$\begin{eqnarray*} k_1 = t*y(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = t*y(t) \end{eqnarray*}$
So haben wir es immer gemacht :

$\begin{eqnarray*} k_1 = (t_j+3/10)*(u_j + 3/10 k_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = (1+3/10)*(2 + 3/10 k_1) \end{eqnarray*}$

Soll man nicht hier für $\begin{eqnarray*} y = e^{t^2/2 - 1/2 + log(2)} \end{eqnarray*}$
einsetzen ?
Das verwirrt mich halt hier huggy

23.03.2022, 16:34

Huggy

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Zitat:

Original von Exit007
$\begin{eqnarray*} k_1 = (1+3/10)*(2 + 3/10 k_1) \end{eqnarray*}$

Richtig. Das ist nun nach $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ aufzulösen. Danach kann man $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Zitat:

Soll man nicht hier für $\begin{eqnarray*} y = e^{t^2/2 - 1/2 + log(2)} \end{eqnarray*}$
einsetzen ?
Das verwirrt mich halt hier huggy

Nein. Die exakte Lösung wird bei Runge-Kutta nirgends benötigt. Man kennt sie ja auch üblicherweise nicht. Damit rechnen wir später zum Vergleich völlig unabhängig von Runge-Kutta.

23.03.2022, 17:39

Exit007

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$\begin{eqnarray*} k_1 = 2+ \frac{3}{10}k_1 + \frac{6}{10}+\frac{9}{100} k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = 2+ \frac{30}{100}k_1 + \frac{6}{10}+\frac{9}{100} k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = 2+ \frac{6}{10} +\frac{39}{100} k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 *( 1- \frac{39}{100})= 2.6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 = 4.26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = 2 + 4.26/2 = 4.13 \end{eqnarray*}$

Falls alles richtig ,wie geht es weiter ?

23.03.2022, 19:19

Huggy

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Fast richtig. Du hast nicht $\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$ mit allgemeinem $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ berechnet, sondern $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ . Solche Nachlässigkeiten in der Notation führen früher oder später dazu, dass man nicht mehr durchblickt, was man eigentlich gemacht hat.

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Dabei sind in die Formel für $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ nicht die Werte für $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ einzusetzen, sondern die Werte für $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ .

23.03.2022, 19:27

Exit007

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$\begin{eqnarray*} k_1 = (t_1+3/10)*(4.13 + 3/10 k_1) \end{eqnarray*}$

Ist t_1 = t0 + h = 1+ 1/2 = 3/2 ?

23.03.2022, 19:32

Huggy

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Richtig.

23.03.2022, 19:49

Exit007

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k1 Neuberechnung mit t_1

$\begin{eqnarray*} k_1 = (\frac{3}{2} +\frac{3}{10} )*(4.13+ \frac{3}{10}k_1) \end{eqnarray*}$

k_1 = 16.16 ?

u2 = 12.21

Hoffe das stimmt und wie geht es weiter ?

24.03.2022, 07:58

Huggy

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Passt.
Jetzt musst du nur noch die exakte Lösung $\begin{eqnarray*} y(2) \end{eqnarray*}$ zum Vergleich berechnen.

24.03.2022, 12:07

Exit007

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Wie ist da genau Vorgehensweise ?

24.03.2022, 12:35

Huggy

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Die Frage finde ich merkwürdig. Die exakte Lösung $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ ist angegeben. Da ist einfach auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

24.03.2022, 12:53

Exit007

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$\begin{eqnarray*} y =2* e^{2^2/2 - 1/2 + log(2)} \end{eqnarray*}$

So?

24.03.2022, 13:07

Huggy

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Nein!

$\begin{eqnarray*} y =\textcolor {red} {2}* e^{2^2/2 - 1/2 + log(2)} \end{eqnarray*}$

Woher kommt die 2 bei dir???
Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} y(2) =e^{2^2/2 - 1/2 + log(2)} \end{eqnarray*}$

24.03.2022, 13:15

Exit007

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Kommt da 6,06 raus?

Dachte vorher man soll es DGL einsetzen Big Laugh

Big Laugh

Wie mache ich das mit der Genauigkeit approximieren ? Big Laugh

Big Laugh

24.03.2022, 13:25

Huggy

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Nein. Dein Fehler ist allerdings verzeihlich. Denn im Unterschied zu der üblichen Bezeichnungsweise ist hier mit $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ der natürliche Logarithmus gemeint, den man meist als $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ schreibt. Du kannst das daran sehen, dass ja $\begin{eqnarray*} y(1)=2 \end{eqnarray*}$ herauskommen muss.

24.03.2022, 14:12

Exit007

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8.96 besser Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Wie geht es weiter ?
Die berühmte Frage

24.03.2022, 14:24

Huggy

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Viel besser!

d) ist keine mathematische Frage. Man hat $\begin{eqnarray*} y(2) \approx 8.96 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \approx 12.21 \end{eqnarray*}$ . Ein freundlicher Mensch könnte sagen, angesichts der großen Schrittweite $\begin{eqnarray*} h=1/2 \end{eqnarray*}$ gar nicht so schlecht. Ich würde sagen, die Näherung ist unbrauchbar. Schreib deine eigene Meinung hin.

24.03.2022, 14:31

Exit007

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hahah danke

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