Körper F5

23.03.2022, 09:31	Schnackelz	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper F5 Hallo, in unserem linearen Algebra Modul wird ein Körper namens F5 behandelt. Dieser besteht aus den fünf Elementen 0, 1, 2, 3, 4. Addition und Multiplikation wurde uns in Tabellen angegeben, aber wie dividiert man hier? Im Internet habe ich gefunden, dass dies mit dem Modulo funktioniert, was ich mir bereits gedacht habe. Allerdings konnte ich trotzdem manche Ergebnisse, die ich mit einem online-Rechner berechnet habe, nicht ganz nachvollziehen. Warum ist 3/4 = 2 ? Ich hatte 3 erwartet, da normalerweise 3 modulo 4 = 3 ist. Danke für eure Hilfe
23.03.2022, 10:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F5 3/4 ist eine abkürzende Schreibweise für $\begin{eqnarray} 3\,4^{-1} \end{eqnarray}$ also das Produkt von 3 und der Inversen von 4 in F5. Diese Inverse liest du aus der Multiplikationstafel ab, es ist ebenfalls die 4. Um das zu überprüfen kommt jetzt die Modulorechnung ins Spiel $\begin{eqnarray} 4\, 4=16\equiv 1 \bmod 5 \end{eqnarray}$ . Damit ist dann $\begin{eqnarray} 3/4=3\, 4^{-1}=3\,4=12\equiv 2 \bmod 5 \end{eqnarray}$
23.03.2022, 11:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F5 $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ ist ja im Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ erlaubt, sofern $\begin{eqnarray} q,m \end{eqnarray}$ teilerfremd sind, und steht dann für die in diesem Ring eindeutige Lösung $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} qx\equiv p\bmod m \end{eqnarray}$ . In diesem Sinne gilt $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} = \frac{p+km}{q} \end{eqnarray}$ für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , speziell auch für die $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} q\mid (p+km) \end{eqnarray}$ gilt und man daher den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{p+km}{q} \end{eqnarray}$ im herkömmlichen Sinn komplett kürzen kann. In $\begin{eqnarray} F_5 \end{eqnarray}$ bedeutet das dann $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} = \frac{3+1\cdot 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \end{eqnarray}$ . So kann man also auch in Restklassenringen mit derartigen Brüchen "rechnen", was zumindest bei kleinen $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ganz praktikabel ist.
23.03.2022, 14:02	Schnackelz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper F5 Vielen Dank, das hat sehr geholfen.. Nur nochmal als Absicherung: Ich gucke also im Prinzip in der Multiplikationstabelle welche Zahl x * 4 = 3 ist ?
23.03.2022, 14:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es.

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