Schwache Formulierung Finite Elemente

24.03.2022, 17:41

Benutzer1

Schwache Formulierung Finite Elemente

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zum Thema schwache Formulierung und Finite Elemente. Die genaue Angabe hab ich als Bild angehängt. Meine Frage bezieht sich auf das gesamte Beispiel. Dass man zuerst den Gradienten der einzelnen Flächen berechnet, habe ich bereits (hoffentlich richtig) verstanden. Was ich jedoch noch nicht verstanden hab ist, wie man da weiter vorgeht? Muss ich die Gradienten mit sich sich selbst multiplizieren und danach integrieren oder nur bestimmte Gradienten? Wofür stehen die zwei Indizes bei der Funktion grad(Phi)_ij in der Angabe wenn die Fläche ja nur eine benötigt?

Als Lösung kommt bei beiden Angaben 0 herauskommen.

Danke im voraus und MfG.

Meine Ideen:
Zuerst die Gradienten berechnen der 4 Flächen um xij danach die Gradienten mit allen Testfunktionen multiplizieren wo es Überschneidungen gibt.

25.03.2022, 08:03

IfindU

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RE: Schwache Formulierung Finite Elemente

Zitat:

Original von Benutzer1
Meine Frage:
Muss ich die Gradienten mit sich sich selbst multiplizieren und danach integrieren oder nur bestimmte Gradienten? Wofür stehen die zwei Indizes bei der Funktion grad(Phi)_ij in der Angabe wenn die Fläche ja nur eine benötigt?

Es gibt in dem Fall $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ viele "Testfunktionen" und jede lebt in den 4 Quadraten rund um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_{i,j} \end{eqnarray*}$ und ist konstant 0 auf allen anderen Quadraten. Daher bietet es sich an die Testfunktionen ebenfalls mit $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ zu kennzeichen.

Mir fällt leider auch keine elegante Lösung ein. Mein bester Versuch wäre $\begin{eqnarray*} \varphi_{ijk}(x) = 1 + c_k (x- ih) + d_k ( y - jh) + e_k(x- ih) ( y - jh) \end{eqnarray*}$ auf den $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Quadrat um $\begin{eqnarray*} x_{i,j} \end{eqnarray*}$ zu definieren und sonst 0. Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^4 \varphi_{ijk} = \varphi_{ij} \end{eqnarray*}$ und die Konstanten $\begin{eqnarray*} c_k, d_k, e_k \end{eqnarray*}$ sind unabhängig von $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi_{ijk}(x) = 1 \pm c_0 (x- ih) \pm d_0 ( y - jh) \pm e_k(x- ih) ( y - jh) \end{eqnarray*}$ gilt. Wobei das Vorzeichen nur von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängt. Damit kann man dann ausrechnen wie die Testfunktionen alle miteinander interagieren.

Es ist leider es explizite Rechnung, mir fällt aber leider nichts abstrakteres ein.

Edit: Mit partieller Integration (Randterme auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sind immer 0). Damit geht es dann flotter.

28.03.2022, 17:49

Benutzer1

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Danke für deine Mühe
Danke für deine Mühe mir das beispiel näherzubringen, es wurde zum glück im repetitorium gerechnet. Man musste quasi rundum den 0 Punkt und rundum den punkt (h,h) die überschneidenden Hutfunktionen berechnen und dann summieren.

Was mir noch nicht so ganz klar ist, ist wofür ich das mache? man diskretisiert das Gebiet mit den Hutfunktionen worauf die 3 Dimensionale Funktion liegt, danach ergeben sich die diskreten Funktionswerte der gesuchten Funktion wie z.B. u(1,2)=30 usw. hab ich das so richtig verstanden? Oder liege ich da komplett falsch?
und mit den Hutfunktionen blendet man quasi das restliche Gebiet aus?

MfG. und noch einen schönen Tag

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