Interpolation

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26.03.2022, 17:12	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation Guten Tag , wisst ihr genau wie ich die Fehlerberechnung genau machen soll?' Hab ich es richtig angewendet ?
26.03.2022, 22:21	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls eure Fehlerabschätzungsformel so lautet : $\begin{eqnarray} \|f(x)-p_2(x)\| \leq \frac{max \ ~ \|f^{n+1}(x)\|}{(n+1)!} \cdot max \ ~ \|w_{n+1}(x)\| \end{eqnarray}$ dann folgt mit n=2 und $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f(x)-p_2(x)\| \leq \frac{max \ ~ \|\frac{(-1)^3 \cdot 3!}{x^4}\|}{3!} \cdot max \ ~ \|(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{4})(x-1)\|=max \ ~ \|\frac{1}{x^4}\| \cdot max \ ~ \|(x-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{4})(x-1)\| \end{eqnarray}$ Dazu muss man sich dann für das oben genannte Intervall Gedanken machen, wie der jeweils betragsmäßig größte Wert lautet.
26.03.2022, 22:59	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie komme ich auf diesen Wert ? So ist die formel
26.03.2022, 23:24	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst dir eigentlich nur noch überlegen was das Maximum von $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^4} \end{eqnarray}$ ist für x aus [0,5 ; 1]
27.03.2022, 00:20	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht so ganz woher das x^4 herkommt ?
27.03.2022, 01:02	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hattest du in deinem Ansatz doch auch schon drin, das kommt eben von der 3. Ableitung. Ich hatte nur ergänzend die konstanten Faktoren aus dem Betrag gezogen und vereinfacht, denn $\begin{eqnarray} \|(-1)^3 \cdot 3!\|=3! \end{eqnarray}$ und das kürzt sich mit den 3! im Nenner weg. Für die bzw. eine gesuchte Schranke verbleibt also nur noch $\begin{eqnarray} max \ ~ \|\frac{1}{x^4}\| \cdot (1- \frac{1}{2})^3 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$
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27.03.2022, 01:06	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^4}>0 \end{eqnarray}$ kann man die Betragsstriche hier natürlich auch weglassen.
27.03.2022, 10:51	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} max \ ~ \|\frac{1}{x^4}\| \cdot (1- \frac{1}{2})^3 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ x= 1/2 eingesetzt; $\begin{eqnarray} max \ ~ \|\frac{1}{0.5^4}\| \cdot (1- \frac{1}{2})^3 = 2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ Der Zahlenwert ist demnach 2 Hast du auch noch tipps für die c) ?
27.03.2022, 11:05	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eigentlich wenig Ahnung von Numerik. Jedoch bin ich in der Lage Formeln weitesgehend zu verstehen und anzuwenden. Das würde ich dir auch wärmstens empfehlen, dass du trainierst mit Formeln umzugehen. Mit der Taktik kommst du bei all deinen Numerikaufgaben, die du hier schon gepostet hast, stets zum Ziel. Da ich deine Vorlesung ja nicht kenne, müsstest du die Formel für c) schon selbst posten, sonst artet das wieder in Ratespielchen aus. Du kannst sicher wieder ähnlich vorgehen wie in b), nur mit einer etwas anderen Formel.
27.03.2022, 11:21	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formeln sind im Skript folgende ? Vielleicht kannst du mir beim anwenden helfen
27.03.2022, 12:12	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bisschen Eigeninitiative wäre schön. Es geht hier sogar noch etwas einfacher als in b), denn laut Formel geht es lediglich um die Schranke $\begin{eqnarray} g=\frac{1}{8} \cdot max \ ~ \|f''(x)\| \cdot h_{max}^2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} h_{max} \end{eqnarray}$ der größte, hier auftauchende Abstand zweier benachbarter Stützstellen ist und wiederum das Intervall $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ betrachtet wird.
27.03.2022, 13:02	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \leq \frac{1}{8}max \| (-1)^2 \frac{2!}{1} \|0.5^2 \end{eqnarray}$ Das einfach ausrechnen ? Da grösstmöglich gemeint ist , habe ich den grösseren Wert also 1 eingesetzt
27.03.2022, 13:45	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nicht darum den größtmöglichen x-Wert einzusetzen, sondern darum mit einem entsprechenden x-Wert das betragsmäßig größte Ergebnis zu erhalten. Wenn du den dafür passenden x-Wert identifiziert und eingesetzt hast, dann kannst du das "max" auch weglassen.
27.03.2022, 13:53	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
x = 1 und hmax = 0.5 Kommt 1/16 raus ? Das war es ?
27.03.2022, 13:56	schätzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Für x=1 wird 2/x³ eben nicht maximal.
27.03.2022, 14:06	Simonx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \leq \frac{1}{8}max \| (-1)^2 \frac{2!}{1/2} \|0.5^2 = 1/8 \end{eqnarray}$ Habe jetzt x = 0.5 eingesetzt 0,5 ist wohl das Maximum oder ?

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