Newtonverfahren2 (war: Interpolation2)

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27.03.2022, 16:37

Axel33

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Newtonverfahren2 (war: Interpolation2)

Wisst ihr wie ich bei dieser Art von Aufgabe bei der a) vorgehen soll?

27.03.2022, 17:03

herrnewton

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Gegenfrage:

Für was genau kann man denn das Newtonverfahren allgemein nutzen ?

27.03.2022, 17:07

Axel33

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normalerweise kenne ich das mit dem Newtoninterpolationsverfahren woraus man das Polynom berechnet

Hier verstehe ich nicht was ich machen soll?

27.03.2022, 17:15

herrnewton

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Das heißt in deinem Skript steht kein einziges Mal etwas über das Newtonverfahren ?
Um Interpolation geht es hier natürlich nicht.
Schau nochmal genau nach.

27.03.2022, 17:25

Axel33

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Man approximiert halt Gleichungssysteme mit dem Newtonverfahren

Willst du darauf hinaus ?

27.03.2022, 17:36

herrnewton

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Nicht zwingend Systeme. Mit dem Verfahren kann man unter gewissen Voraussetzungen näherungsweise Gleichungen der Form f(x)=0 lösen.

Wenn du jetzt eine (einfache) Gleichung findest, die als Lösung $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ hat, und diese auf die Form f(x)=0 bringst, dann kannst du das Verfahren starten.

27.03.2022, 17:40

Axel33

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x_1+x_2} =\sqrt{2+3}= \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Könnte man sowas nehmen ?

27.03.2022, 17:45

herrnewton

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Nein. Stelle dir eine Gleichung vor, wo du das Wurzelziehen brauchst, um sie von Hand zu lösen.
Fällt dir eine solche ein, wo eine Lösung die Wurzel aus 5 ist ?

27.03.2022, 17:54

Axel33

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f(x ) = x^2

Wäre so etwas besser ?

27.03.2022, 17:56

herrnewton

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Mit x² ist schon mal gut.
Welche Gleichung, wo x² vorkommt, hat denn als Lösung die Wurzel aus 5 ?

27.03.2022, 17:59

Axel33

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Weiss echt nicht mehr ? geschockt

27.03.2022, 18:04

herrnewton

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Na ist denn die Gleichung x² = 5 so schwer zu erraten ?
Wenn du sie nun auf die Form f(x)=0 bringst, dann hast du eine passende Funktion für Aufgabe a)

27.03.2022, 18:06

Axel33

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AH f(x) = x^2 - 5 ?

Besser ?

Da ist ja von F(X) die Rede ?

Soll ich auch nochmal intergieren ?

27.03.2022, 18:10

herrnewton

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Ja, so ist es richtig Freude

Und nein, die nennen die Funktion hier einfach F(x) statt f(x).

27.03.2022, 18:19

Axel33

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$\begin{eqnarray*} x^1 = x_0 - \frac{F(2)}{F`(2)}= 2- \frac{-1}{4} = 8/4 + 1/4 = 9/4 \end{eqnarray*}$

Berechne ich das x^1 so?

27.03.2022, 18:22

herrnewton

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Ja genau, sehr gut Freude

27.03.2022, 18:28

Axel33

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$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{9}{4} - \frac{\frac{1}{16} }{\frac{9}{2} } = 2.236 \end{eqnarray*}$

Weisst du was ich genau bei der c) jetzt machen soll?

27.03.2022, 18:35

herrnewton

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Ein globales Newtonverfahren kenne ich nicht, vermutlich spielt das auf globale statt lokale Konvergenz an.

Du müsstest da schon die passenden Passagen aus deinem Skript hier reinposten, damit man sehen kann, mit welcher Formel bzw. welchem Algorithmus du hier arbeiten sollst.

27.03.2022, 18:40

Axel33

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Hilft dir das ?

27.03.2022, 20:17

herrnewton

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Wenn ich es richtig verstanden habe, dann ändert sich im Vergleich zu den beiden Iterationslösungen in b) nichts, da die Bedingung in 5.4 aus deinem Skript für $\begin{eqnarray*} \sigma=1 \end{eqnarray*}$ als größt möglicher Wert erfüllt ist und somit im Endeffekt wieder die "normale" Rekursionsvorschrift vom Newtonverfahren dort steht.

Für d) würde ich x=0 vermuten, da dadurch F '(x)=0 gelten würde und keine Konvergenz erreicht werden kann (Abbruchbedingung).

Frage dazu aber lieber nochmal jemanden aus dem entsprechenden Lehrstuhl dazu oder poste mal ein Beispiel aus der Vorlesung/Übung falls vorhanden.

Natürlich können sich hier im Thread auch noch weitere Helfer dazu äußern - vielleicht kann jemand meine Vermutung bestätigen oder korrigieren.

27.03.2022, 22:37

Axel33

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ich verstehe nicht so ganz warum dann 10^-3 gegeben ist ?

28.03.2022, 08:52

herrnewton

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$\begin{eqnarray*} \delta=10^{-3} \end{eqnarray*}$ kommt ja in dieser Armijo-Regel im Punkt 5.4 des Skriptes vor.
Diese Bedingung ist Teil vom globalisierten Newton-Algorithmus (Schritt 3) und genau die hatte ich für $\begin{eqnarray*} \delta=10^{-3} \ ~ \text{und} \ ~ \sigma=1 \end{eqnarray*}$ geprüft.

Existieren denn nicht Musterlösungen zu deinen ganzen Aufgaben ?

29.03.2022, 13:13

Axel33

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Leider habe ich hier keine Musterlösung nicht, sonst würde ich nicht fragen Big Laugh

Und erklärt wird es uns leider nicht
Entweder man macht es selbst oder lässt es

29.03.2022, 13:40

herrnewton

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Zitat:

Leider habe ich hier keine Musterlösung nicht, sonst würde ich nicht fragen

Da stehen ja meist nicht die kompletten Lösungsschritte, von daher braucht man zum kompletten Verständnis/Nachvollziehen schon eine solide Wissensgrundlage.

Eine Idee wäre noch, dass du in deinem Skript mal schaust, ob es eine Beispielaufgabe zum globalen Newtonverfahren gibt.
Daran könnte man ja auch noch etwas für die aktuelle Aufgabe ableiten.

29.03.2022, 18:35

herrnewton

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Zum Armijo-Algorithmus:

F(x)=x²-5 und $\begin{eqnarray*} x^0=2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung in Schritt 2 für k=0 nach s aufgelöst ergibt $\begin{eqnarray*} s^0=-\frac{F(2)}{F'(2)}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

In Schritt 3 kommt jetzt diese Armijo-Bedingung zum Einsatz, die ich für k=0 und $\begin{eqnarray*} \delta=10^{-3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_0=1 \end{eqnarray*}$ prüfe:

$\begin{eqnarray*} |F(2+1 \cdot \frac{1}{4})|^2 \leq |F(2)|^2- 2 \cdot 10^{-3} \cdot 1 \cdot |F(2)|^2 \end{eqnarray*}$ ------> Hier habe ich benutzt, dass die $\begin{eqnarray*} ||x||_2 \end{eqnarray*}$ Norm im Eindimensionalen dem Betrag von x entspricht

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{256} \leq 1-0.002=0,998 \ ~ \ \checkmark \end{eqnarray*}$ Die linke Seite ist auf jeden Fall kleiner als die rechte Seite.

Nach Schritt 4 folgt damit dann $\begin{eqnarray*} x^1=x^0+1 \cdot s^0 \end{eqnarray*}$ und damit eingesetzt $\begin{eqnarray*} x^1=2 +1 \cdot \frac{1}{4}=2.25 \end{eqnarray*}$

Man sieht also, dass für $\begin{eqnarray*} \sigma=1 \end{eqnarray*}$ dasselbe wie vorher beim "lokalen" Newtonverfahren rauskommt.

Analog geht das für k=1 zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und auch da würde wieder dasselbe wie beim lokalen Verfahren resultieren.

Zur angegebenen Quersumme 7 würde es auch passen, von daher spricht glaube ich vieles dafür, dass das hier nicht so ganz falsch von mir ist.

30.03.2022, 19:07

Axel33

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Hier eine lösung zu dem Thema von einer Übungsaufgabe ?

Hilft dir das ?

30.03.2022, 21:08

herrnewton

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Mir muss es nicht helfen, ich habe es ja verstanden.
Ich hoffe, dass du es auch verstehst.
Geäußert hast du dich zu meinem vorgerechneten Weg ja nicht, von daher keine Ahnung wie dein Verständnis da bisher so ist.

In deiner geposteten Lösung wurden die Bestandteile der Armijo-Ungleichung in einer Tabelle angeordnet.
Kann man machen, muss man aber nicht.
An den letzten beiden Spalten sieht man dann immer, ob für das gewählte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.
Wenn sie nicht erfüllt ist, dann wird die Schrittweite $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ halbiert.

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