Grenzwert einer rekursiven Folge

29.03.2022, 02:01

tatata

Grenzwert einer rekursiven Folge

Folgende Lösung zur rek. Folge verstehe ich leider nicht. Ich habe die Lösung mal an diesen Post angehängt.

Also für mich war klar:
Für x mit: -4 < x < 4 konvergiert die Folge gegen 0, da der Ausdruck innerhalb der Klammer < -1 bzw. < 1 ist und es gilt dann:
a_n-1 < a_n, also fällt die Folge streng monoton.

Ansonsten hätte ich gedacht, dass bei x = -4 und x = 4 die Folge gegen jeweils -1 und 1 geht (konstante Folge).
Und für alle anderen Zahlen, also x < -4 und x > 4 wächst die Folge ins Unermessliche (- unendlich und + unendlich).

Wo ist mein Denkfehler? Bin ich zu lange wach schon oder wieso checke ich gerade nicht, warum die Lösung so richtig sein soll?

29.03.2022, 08:16

folger

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Zitat:

Für x mit: -4 < x < 4 konvergiert die Folge gegen 0, da der Ausdruck innerhalb der Klammer < -1 bzw. < 1 ist und es gilt dann: a_n-1 < a_n, also fällt die Folge streng monoton.

Ich vermute du denkst nicht rekursiv sondern explizit a la $\begin{eqnarray*} a_n=(\frac{x}{4})^3 \end{eqnarray*}$

Rekursiv betrachtet gilt z.B. für $\begin{eqnarray*} a_0=x=4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_1={(\frac{4}{4})}^3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2={(\frac{1}{4})}^3=\frac{1}{64} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3={(\frac{\frac{1}{64}}{4})}^3=\frac{1}{256} \end{eqnarray*}$

An diesen ersten drei Folgegliedern erkennt man schon die Konvergenz gegen Null.

29.03.2022, 08:43

HAL 9000

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Aus der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ -Iteration ergibt sich für $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{a_n}{8} \end{eqnarray*}$ die Iterationsgleichung $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{1}{8}\left( \frac{a_{n-1}}{4} \right)^3 = \left(\frac{a_{n-1}}{8}\right)^3 = b_{n-1}^3 \end{eqnarray*}$ und damit die explizite Darstellung $\begin{eqnarray*} b_n = b_0^{3^n} \end{eqnarray*}$ bzw. rücksubstituiert $\begin{eqnarray*} a_n = 8\cdot \left(\frac{a_0}{8}\right)^{3^n} = 8\cdot \left(\frac{x}{8}\right)^{3^n} \end{eqnarray*}$ .

29.03.2022, 11:48

folger

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_3={(\frac{\frac{1}{64}}{4})}^3=\frac{1}{256} \end{eqnarray*}$

Korrektur :

$\begin{eqnarray*} a_3={(\frac{\frac{1}{64}}{4})}^3=\frac{1}{256^3} \end{eqnarray*}$

Ergänzende Gedanken zum Bestimmen vom Konvergenzbereich, falls man nicht auf eine explizite Form kommt :

Man könnte sich hier auch überlegen bei welchem Startwert x eine konstante Folge entstehen würde.
Das führt zu der Gleichung $\begin{eqnarray*} (\frac{x}{4})^3=x \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen -8,0 und 8.
Da hier offenbar nichts sauber bewiesen werden muss, kann man sich damit auch anhand der Bauart der Rekursion klarmachen in welchen Intervallen die Folge konvergiert.

29.03.2022, 14:03

HAL 9000

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Genau genommen fehlt in der obigen Auflistung auch noch Fall 3: $\begin{eqnarray*} x=-8 \end{eqnarray*}$

Auch hier haben wir eine konvergente, weil konstante Folge $\begin{eqnarray*} a_n=-8 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

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Interessant ist die Diskussion des Konvergenzverhaltens, wenn man beliebige komplexe Startwerte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zulässt:

Für $\begin{eqnarray*} |x|<8 \end{eqnarray*}$ bleibt es wie gehabt bei Konvergenz gegen 0, ebenso haben wir für $\begin{eqnarray*} |x|>8 \end{eqnarray*}$ auch weiterhin Divergenz. Im verbleibenden Fall $\begin{eqnarray*} |x|=8 \end{eqnarray*}$ passiert folgendes:

Betrachten wir die Polardarstellung $\begin{eqnarray*} x = 8\cdot e^{i\pi t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1 < t\leq 1 \end{eqnarray*}$ , so haben wir $\begin{eqnarray*} a_n = 8\cdot e^{i\pi 3^nt} \end{eqnarray*}$ und es gibt damit folgende Fälle

Fall 1: $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist rational, d.h. $\begin{eqnarray*} t=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden $\begin{eqnarray*} p,q\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ .

Fall 1.1: Es ist $\begin{eqnarray*} q=3^m \end{eqnarray*}$ . Dann ist Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$ konstant, und zwar $\begin{eqnarray*} a_n=8 \end{eqnarray*}$ für gerade $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} a_n=-8 \end{eqnarray*}$ für ungerade $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Beides heißt natürlich dann auch Folgenkonvergenz.

Fall 1.2: $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ enthält auch Primfaktoren ungleich 3. Hier ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen Index periodisch, aber nicht konvergent.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist irrational. Auch hier ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ divergent, die Folgenwerte liegen dabei auf dem Kreis $\begin{eqnarray*} |z|=8 \end{eqnarray*}$ dicht, und keine zwei Folgenwerte sind einander gleich.

Es gibt abzählbar unendlich viele Werte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die zu Fall 1.1 gehören, und die liegen dicht auf dem Kreis $\begin{eqnarray*} |z|=8 \end{eqnarray*}$ , und zwar sowohl die mit Folgengrenzwert 8 als auch die mit -8.

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