Ortsvektor in Polarkoordinaten ableiten

30.03.2022, 09:21

jan19

Ortsvektor in Polarkoordinaten ableiten

Meine Frage:
Wenn ich einen Ortsvektor in Polarkoordinaten gegeben habe z.B. r= u(t)*e_r und ich daraus eine Geschwindigkeit machen will, wie leite ich das dann ab?

Meine Ideen:
Ich dachte der Einheitsvektor e_r ist auch zeitabhängig weil der sich ja bewegt im Inertialsystem, deshalb hätte ich nach der Produktregel so abgeleitet:
v=u'(t)*e_r+u(t)e_r'
Die Lösungen behaupten, aber das es einfach nur v=u'(t) ist.
In welchen Fällen muss ich die Einheitsvektoren mit ableiten und in welchen nicht?

30.03.2022, 10:20

gast_free

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ortsvektor in Polarkoordinaten ableiten
Kartesisch:
$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec {\dot r(t)}=\begin{pmatrix} {\dot x(t)} \\ {\dot y(t)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Polar:
$\begin{eqnarray*} r(t)=\sqrt{x(t)^2+y^2(t)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(t)=arctan(\frac{y(t)}{x(t)}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec r(t)=\begin{pmatrix} r(t)\cdot cos(\phi(t)) \\ r(t)\cdot sin(\phi(t))\end{pmatrix}=r(t)\cdot \vec e_r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec {\dot r(t)}=\begin{pmatrix} {\dot r(t)\cdot cos(\phi(t))} - r(t)\cdot sin(\phi(t))\cdot {\dot {phi(t)}} \\ {\dot r(t)\cdot sin(\phi(t))} + r(t)\cdot cos(\phi(t))\cdot {\dot {phi(t)}}\end{pmatrix}={\dot r(t)}\cdot \begin{pmatrix} {cos(\phi(t))}\\ sin(\phi(t))\end{pmatrix}+r(t)\cdot {\dot \phi(t)}\cdot \begin{pmatrix} {-sin(\phi(t))}\\ cos(\phi(t))\end{pmatrix}={\dot r(t)}\cdot \vec e_r+r(t)\cdot {\dot \phi(t)}\cdot \vec {\dot e_r} \end{eqnarray*}$

30.03.2022, 12:38

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ortsvektor in Polarkoordinaten ableiten

Zitat:

Original von jan19
In welchen Fällen muss ich die Einheitsvektoren mit ableiten und in welchen nicht?

Wie gast_free schon in sog. natürlichen Koordinaten hergeleitet hat, gilt dein Fall (es ändert sich zeitlich nur der Radialabstand) für
$\begin{eqnarray*} \varphi(t) = const \end{eqnarray*}$

Ändert sich auch der Winkel zeitlich, beinhaltet die Geschwindigkeit auch die Winkelkomponente.

In kartesischen Koordinaten (mit zeitlich konstanten Basisvektoren) ausgedrückt also

$\begin{eqnarray*} \vec v(t) = [\dot r(t) \cdot cos(\varphi(t)) - r(t) \cdot \dot \varphi(t) \cdot sin(\varphi(t)] \cdot \hat e_x + [\dot r(t) \cdot sin(\varphi(t)) + r(t) \cdot \dot \varphi(t) \cdot cos(\varphi(t)] \cdot \hat e_y \end{eqnarray*}$

Kinematisch ist hier kein Unterschied. Betrachtest du aber dynamische Vorgänge (mit Beschleunigungen), dann entsprechen die Darstellungen unterschiedlichen Bezugssystemen, im ersteren treten dann sog. Trägheitsbeschleunigungen auf.

30.03.2022, 15:24

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ortsvektor in Polarkoordinaten ableiten

Zitat:

Original von jan19
Meine Frage:
Wenn ich einen Ortsvektor in Polarkoordinaten gegeben habe z.B. r= u(t)*e_r und ich daraus eine Geschwindigkeit machen will, wie leite ich das dann ab?

Aus $\begin{eqnarray*} \vec r=u(t)\vec e \end{eqnarray*}$ wird durch Ableiten nach der Zeit:

$\begin{eqnarray*} \dot {\vec r}=\dot u(t)\vec e+u(t)\dot{\vec e} \end{eqnarray*}$ .

Aus

$\begin{eqnarray*} \vec e=\begin{pmatrix} \cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

würde

$\begin{eqnarray*} \dot{\vec e}=\omega\begin{pmatrix} -\sin \omega t \\ \cos \omega t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ werden.

Falls $\begin{eqnarray*} \vec e \end{eqnarray*}$ jedoch konstant ist, ist $\begin{eqnarray*} \dot{\vec e}=0 \end{eqnarray*}$ .

Man kann die Produktregel konsequent auch auf Vektorausdrücke anwenden.

Neue Frage »

Antworten »

Ortsvektor in Polarkoordinaten ableiten

Verwandte Themen