DGL lösen

30.03.2022, 14:26

Stud030322

DGL lösen

Hi,

ich habe die DGL $\begin{eqnarray*} y' = -\frac{t}{y} \end{eqnarray*}$ und möchte diese lösen.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y' = -\frac{t}{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} yy' = -t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \frac{dy}{dx} = -t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \,dy = -t \,dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int y \,dy = \int -t \,dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{2} = -tx + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{2(C-tx)} \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

30.03.2022, 14:38

Steffen Bühler

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RE: DGL lösen
Ja, wie Du durch Einsetzen schnell prüfen kannst.

Viele Grüße
Steffen

30.03.2022, 14:43

Leopold

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RE: DGL lösen
Formal ist das in Ordnung, wenn $\begin{align*} x \end{align*}$ die Funktionsvariable und $\begin{align*} t \end{align*}$ ein Parameter ist (über den Gültigkeitsbereich der jeweiligen Lösungen müßte man noch nachdenken). Ist das so? Oder ist möglicherweise $\begin{align*} t \end{align*}$ die unabhängige Variable?

30.03.2022, 14:44

Ulrich Ruhnau

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RE: DGL lösen

Zitat:

Original von Stud030322
Hi,

ich habe die DGL $\begin{eqnarray*} y' = -\frac{t}{y} \end{eqnarray*}$ und möchte diese lösen.

$\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{2(C-tx)} \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

Unter der Prämisse, daß t eine Konstante ist, ist das bestimmt in Ordnung. Jedoch benutzt man t als Formelzeichen für die Zeit, die sich ja laufend ändert. Deshalb solltest Du mal prüfen, was y' bedeuten soll. Falls $\begin{eqnarray*} y'=\frac{\partial y}{\partial t} \end{eqnarray*}$ ist, sieht die Sache anders aus. Dann wäre dieses Ergebnis falsch.

30.03.2022, 14:51

Stud030322

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@Steffen Bühler, Zum "einfach einsetzen", ich müsste doch erst von $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{2(C-tx)} \end{eqnarray*}$ die Ableitung bestimmen und dann die Ableitung und das $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{2(C-tx)} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y' = -\frac{t}{y} \end{eqnarray*}$ einsetzen, oder?

@Leopold & Ulrich Ruhnau, sagen wir einmal, dass $\begin{eqnarray*} y'=\frac{\partial y}{\partial t} \end{eqnarray*}$ ist, wie würde man denn hier die DGL lösen?

30.03.2022, 14:53

Steffen Bühler

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Zur Frage an mich: ja, so ist es. Und falls Du nach t ableiten willst/musst, leite nach t ab.

30.03.2022, 14:58

Stud030322

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Ah, danke für deine Antwort!

dann wäre das also:

y \frac{dy}{dt} = -t

y \, dy = -t \, dt
\int y \, dy = \int -t \, dt

\frac{y^2}{2} = -\frac{t^2}{2} + C

30.03.2022, 14:59

Stud030322

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Latex vergessen...

$\begin{eqnarray*} y \frac{dy}{dt} = -t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \, dy = -t \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int y \, dy = \int -t \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{2} = -\frac{t^2}{2} + C \end{eqnarray*}$

30.03.2022, 15:05

Steffen Bühler

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Zwar nicht ganz ausgeführt, aber ebenfalls korrekt.

Viele Grüße
Steffen

30.03.2022, 15:07

Stud030322

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Gut, dann habe ich keine weiteren Fragen. Danke das hat mir geholfen!

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