Maximum Likelihood

30.03.2022, 18:16

Babmann33

Maximum Likelihood

Hi Leute ich weiss das einige vielleicht schon genervt sind von meinen Fragen .
Habe aber auch bei diesem Thema mit maximum Likelihood wieder Probleme .

Irgendwie schaffe ich diese Aufgaben einfach nicht selbstständig zu lösen
Poste die AUfgabe einfach um mit euch zusammen zu lösen .
Vielleicht verstehe ich es ,vielleicht auch nicht Big Laugh

Aber probieren wir es einfach

Dankbar für tipps

30.03.2022, 22:45

loglike

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal muss man die so genannte Log-Likelihood-Funktion aufstellen, das wäre hier :

$\begin{eqnarray*} l(\theta)=\sum_{i=1}^nlog(P(X=x_i)) \end{eqnarray*}$

Als Basis für den Logarithmus würde man hier die eulersche Zahl e nehmen, was dem Logoarithmus naturalis (oder kurz ln) entspricht.

Danach folgt dann das Einsetzen der gegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion, so wie das Vereinfachen des Terms mit Hilfe von geeigneten Logarithmengesetzen.

Der Rest ist im Prinzip nichts anderes als das Abspulen der notwendigen Bedingung für Extrempunkte, also das Nullsetzen der 1. Ableitung und das anschließende Auflösen der Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$

02.04.2022, 01:12

Babmann33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} -\theta*ln(\frac{\theta^x}{x!} ) \end{eqnarray*}$

x = k-1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} -\theta*ln(\frac{\theta^{k-1}}{(k-1)!} ) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich weiter vorgehen?

02.04.2022, 09:03

loglike

Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher hast du nur die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion eingesetzt.
An die x-Variablen kommt noch der Index i, sonst würde der Term in der Summe ja unabhängig von i komplett konstant sein.
Was danach zu tun ist, steht in meinem letzten Beitrag.
Warum genau hast du x durch k-1 ersetzt ?

02.04.2022, 11:49

Babmann33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} -\theta*ln(\frac{\theta^x}{x!} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} -\theta*ln(\frac{\theta^{k_i}}{(k_i)!} ) \end{eqnarray*}$

nach teta abgeleitet :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} -1*\frac{k_i!}{\theta^{k_i}} \end{eqnarray*}$

Jetzt gleich 0 setzen oder wie?

03.04.2022, 09:25

loglike

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ln(e^{-\theta} \cdot \frac{\theta^{x_i}}{x_i!})=ln(e^{-\theta}) + ln(\theta^{x_i})-ln(x_i!)=-\theta+x_i \cdot ln(\theta)-ln(x_i!) \end{eqnarray*}$

Das wäre der Ausdruck in der Summe mittels Logarithmusgesetzen vereinfacht.

Das nun in der Summe nach $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ableiten und mit Null gleichsetzen.

03.04.2022, 11:36

Babmann33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ln(e^{-\theta} \cdot \frac{\theta^{x_i}}{x_i!})=ln(e^{-\theta}) + ln(\theta^{x_i})-ln(x_i!)=-\theta+x_i \cdot ln(\theta)-ln(x_i!) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 + \frac{x_i}{\theta} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_i}{\theta} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \theta = x_i \end{eqnarray*}$

Das ist es oder ?

03.04.2022, 12:16

loglike

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -1 + \frac{x_i}{\theta} \end{eqnarray*}$

Du musst du wie erwähnt in der Summe betrachten :

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n-1=-n \end{eqnarray*}$ ----> es wird n-mal die -1 addiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\theta}=\frac{1}{\theta} \cdot \sum_{i=1}^nx_i \end{eqnarray*}$ ----> von i unabhängige Faktoren kann man aus der Summe ziehen

03.04.2022, 12:49

Babmann33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\theta}=\frac{n}{\theta} \cdot \sum_{i=1}^nx_i \end{eqnarray*}$

Was müsste ich nach diesem Schritt genau machen ?
Habe das n eingebaut jetzt ?

03.04.2022, 13:03

loglike

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werd dazu jetzt nichts mehr sagen, da ich mich nur immer wieder und wieder wiederholen würde.
Es steht alles hier im Thread, was man zum Lösen der Aufgabe braucht.

Viel Erfolg Freude

03.04.2022, 13:12

Babmann33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\frac{x_i}{\theta}=\frac{n}{\theta} \cdot \sum_{i=1}^nx_i = 0 \end{eqnarray*}$

Nach dem nullsetzen weiss ich net so Recht ?

03.04.2022, 17:15

Babmann33

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat niemand tipps damit man abschliessen kann?

04.04.2022, 08:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es einfach furchtbar, dass du immer nur mit losen unverbindlichen Termen um dich wirfst. Man hat nicht grundlos sowas wie Gleichungen erfunden.

Anknüpfend an den Beitrag von loglike 3.4., 11:36 ist die Loglikelihoodfunktion gleich $\begin{eqnarray*} l(\theta) = \sum_{i=1}^n \left(-\theta + x_i\cdot \ln(\theta)-\ln(x_i!)\right) \end{eqnarray*}$ . Die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} l'(\theta) = \sum_{i=1}^n \left(-1 + \frac{x_i}{\theta}\right) = -n + \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\theta} = -n + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$ .

Und das ist nun zum Zwecke der Maximumbestimmung gleich Null zu setzen.

04.04.2022, 13:18

Babmann33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} l'(\theta) = \sum_{i=1}^n \left(-1 + \frac{x_i}{\theta}\right) = -n + \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\theta} = -n + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \theta = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \end{eqnarray*}$

Alles gut?
Danke für deine Hilfe

04.04.2022, 13:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Das rechts dürfte nicht ganz unbekannt sein, denn das ist ja einfach der Stichproben-Mittelwert.

Neue Frage »

Antworten »

Maximum Likelihood

Verwandte Themen