n^5 endet auf Einer von n

31.03.2022, 12:18	Lehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
n^5 endet auf Einer von n Hallo liebe Gemeinde, leider kann ich folgende Frage einem Schüler nicht beantworten. Es zeigt sich, dass der Einer der fünfte Potenz n^5 und der Einer der natürlichen Zahl n stets identisch sind. Oder anders: n^5 endet stets auf dieselbe Ziffer wie n selbst. Leider habe ich keine Idee, dies nachzuweisen. Die Idee n zu zerlegen etwa n=10*a+b liefert für n^5= ..... +b^5. Weiß jemand Rat? Liebe Grüße
31.03.2022, 12:56	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe: https://www.johndcook.com/blog/2015/07/0...rs-dont-change/
31.03.2022, 13:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas spezifischer und schülerfreundlicher: Zwei Zahlen haben die gleiche Einser-Stelle, wenn die Differenz durch 10 teilbar ist. Das kann man gut erklären. Dann betrachtet man $\begin{eqnarray} n^5 - n \end{eqnarray}$ und überlegt, warum das immer durch 10 teilbar ist. (Weil $\begin{eqnarray} n^5 - n = n( n^4 - 1) = n(n^2 + 1)( n^2 - 1) = ... \end{eqnarray}$ ).
31.03.2022, 14:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgehend von der Zerlegung von IfindU kann man das ganze per $\begin{eqnarray} n^2+1 = (n^2-4)+5 \end{eqnarray}$ noch weiter treiben hin zu $\begin{eqnarray} n^5-n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1) = 120\binom{n+2}{5} + 30\binom{n+1}{3} \end{eqnarray}$ sein. D.h., die Restklasse ist nicht nur modulo 10 dieselbe, sondern sogar modulo 30.
31.03.2022, 14:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
HALs Summenausdruck zeigt alles auf einen Blick. Man könnte auch so argumentieren: In der Faktorzerlegung $\begin{align} n^5 - n = (n-1) n (n+1) \left( n^2 + 1 \right) \end{align}$ bilden die Faktoren $\begin{align} n-1,n,n+1 \end{align}$ drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Von diesen ist mindestens eine durch 2 und genau eine durch 3 teilbar. Ist nun keine dieser drei Zahlen durch 5 teilbar, so ist $\begin{align} n-2 \end{align}$ oder $\begin{align} n+2 \end{align}$ durch 5 teilbar. Dann ist aber auch $\begin{align} n^2 + 1 = (n-2)(n+2)+5 \end{align}$ durch 5 teilbar. Auf jeden Fall ist also $\begin{align} n^5 - n \end{align}$ durch 5 teilbar. Da 2,3,5 teilerfremd sind, ist $\begin{align} n^5 - n \end{align}$ durch 30 teilbar. (Für ungerades $\begin{align} n \end{align}$ erkennt man die Teilbarkeit durch 60.)
31.03.2022, 22:15	Lehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: n^5 endet auf Einer von n Ich danke Willy für den Link und IfindU für die tolle Idee mit der Teilbarkeit der Differenz mit 10. Das sollte den Schülern einleuchten. Dank auch an HAL 9000 und Leopold. Die Zerlegung kenne ich. Sie sollte auch das Ziel der Aufgabe sein - es waren Zusatzaufgaben in einer Kontrolle (Zeige 1.) 2\|(n^5-n) und 2.) 3\|(n^5-n)). Und bei 1.) erhielt ich eben obige Aussage über die Einerstellen, für die die Faktorenzerlegung leider nicht hilft. Beste Grüße an alle!
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31.03.2022, 22:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Daß $\begin{align} n^5 \end{align}$ denselben Einer wie $\begin{align} n \end{align}$ besitzt, kann man auch beweisen, indem man sämtliche Möglichkeiten durchgeht. Offenbar erhält man den Einer des Produkts zweier natürlicher Zahlen, indem man deren Einer multipliziert und modulo 10 reduziert. Das kann man schon Fünftkläßlern klarmachen, wenn man etwa das Verfahren der schriftlichen Multiplikation unter die Lupe nimmt. Im Folgenden betrachten wir Kongruenzen modulo 10. $\begin{align} \begin{matrix} \color{red} 0 & 0 \cdot 0 \equiv 0 & 0 \cdot 0 \equiv 0 & 0 \cdot 0 \equiv 0 & 0 \cdot 0 \equiv \color{red} 0 \\ \color{red} 1 & 1 \cdot 1 \equiv 1 & 1 \cdot 1 \equiv 1 & 1 \cdot 1 \equiv 1 & 1 \cdot 1 \equiv \color{red} 1 \\ \color{red} 2 & 2 \cdot 2 \equiv 4 & 4 \cdot 2 \equiv 8 & 8 \cdot 2 \equiv 6 & 6 \cdot 2 \equiv \color{red} 2 \\ \color{red} 3 & 3 \cdot 3 \equiv 9 & 9 \cdot 3 \equiv 7 & 7 \cdot 3 \equiv 1 & 1 \cdot 3 \equiv \color{red} 3 \\ \color{red} 4 & 4 \cdot 4 \equiv 6 & 6 \cdot 4 \equiv 4 & 4 \cdot 4 \equiv 6 & 6 \cdot 4 \equiv \color{red} 4 \\ \color{red} 5 & 5 \cdot 5 \equiv 5 & 5 \cdot 5 \equiv 5 & 5 \cdot 5 \equiv 5 & 5 \cdot 5 \equiv \color{red} 5 \\ \color{red} 6 & 6 \cdot 6 \equiv 6 & 6 \cdot 6 \equiv 6 & 6 \cdot 6 \equiv 6 & 6 \cdot 6 \equiv \color{red} 6 \\ \color{red} 7 & 7 \cdot 7 \equiv 9 & 9 \cdot 7 \equiv 3 & 3 \cdot 7 \equiv 1 & 1 \cdot 7 \equiv \color{red} 7 \\ \color{red} 8 & 8 \cdot 8 \equiv 4 & 4 \cdot 8 \equiv 2 & 2 \cdot 8 \equiv 6 & 6 \cdot 8 \equiv \color{red} 8 \\ \color{red} 9 & 9 \cdot 9 \equiv 1 & 1 \cdot 9 \equiv 9 & 9 \cdot 9 \equiv 1 & 1 \cdot 9 \equiv \color{red} 9 \\ \end{matrix} \end{align}$

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