Berechnungsformel für grafische Lösung (Thales Kreis)

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Approximix Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnungsformel für grafische Lösung (Thales Kreis)
Meine Frage:
Gegeben sind drei Punkte. P1, P2, P3 bilden ein Dreieck mit der Grundseite P1-P2, welche gleichzeitig den Durchmesser des Thales Kreises beschreiben. P3 liegt außerhalb des Thales Kreises und soll so lange auf der Winkelhalbierenden verschoben werden, bis er im gesuchten Punkt P4 den Thales Kreis schneidet.
Geometrisch lässt sich diese Frage sehr leicht lösen.
Ich benötige aber einen rechnerischen Weg, der sich in einem Computerprogramm umsetzen lässt.

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war der Strahlensatz, aber dazu gibt es zu viele Unbekannte.
Ein möglicher Ansatz wäre das Gleichsetzen zweier Funktionen: f(Thaleskreis) = f(Winkelhalbierende), um einen möglichen Schnittpunkt zu bekommen, was aber zum einen zwei Lösungen liefert und zum anderen per Programmiersprache etwas umständlich zu beschreiben ist.
Ein weiterer Ansatz wäre über Vektorrechnung. Dazu wird als erstes der Vektor der Winkelhalbierenden (aus Punktkoordinaten) definiert und dann wird dann P3 so lange auf diesem Vektor verschoben, bis die Vektoren P3-P1 und P3-P2 einen rechten Winkel ergeben.
Leider komme ich bei der Erstellung der Formeln nicht weiter und hoffe hier auf einen Denkanstoß bzw. weitere Hilfe.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnungsformel für grafische Lösung (Thales Kreis)
Willkommen im Matheboard!

Wenn Du P2 in den Ursprung legst und P1 auf die x-Achse, ist die x-Koordinate von P3 und P4 dieselbe. Die gesuchte y-Koordinate von P4 kannst Du dann über Pythagoras herleiten.

Viele Grüße
Steffen
Approximix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnungsformel für grafische Lösung (Thales Kreis)
Hallo Steffen,

vielen Dank für Deine schnelle Antwort.

Ich habe Deinen Lösungsansatz mal angewendet, aber ich glaube Du hast übersehen, daß die Winkelhalbierende im Lotfußpunkt auf die Dreiecksgrundseite keinen rechten Winkel hat.

Daher wird diese Methode wohl nicht funktionieren. Es sei denn, ich habe es falsch verstanden.

Im Anhang eine kleine Skizze des Lösungsversuchs.

Viele Grüße
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnungsformel für grafische Lösung (Thales Kreis)
Zitat:
Original von Approximix
Es sei denn, ich habe es falsch verstanden.


Nein, ich hab es falsch verstanden. Sorry, ich denk noch mal drüber nach. Eventuell geht was mit dem Kathetenverhältnis. Vielleicht fällt auch anderen was ein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst doch die Geradengleichung der Winkelhalbierenden? (Falls nicht, die ist einfach aufstellbar: Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Dreiecksseite im Verhältnis der anliegenden Seiten.)

Damit kannst du diese Gerade mit dem Kreis schneiden und erhältst P4.
Approximix Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke.
Noch eine Frage: Wie stelle ich eine Gleichung für den Kreis auf, bei der ich den richtigen Schnittpunkt erhalte (denn es gibt ja zwei, so denke ich)?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das Koordinatensystem erstmal in den Mittelpunkt vom verschieben, d.h. gemäß Transformation mit und .

In diesem System haben wir die Punktkoordinaten , und . Der Kreisradius ist und mit sowie ergibt dies hier

Zitat:
Original von HAL 9000
Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Dreiecksseite im Verhältnis der anliegenden Seiten.

den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Strecke .

Schlussendlich muss man den Schnitt des Kreises mit der Geraden berechnen, letztere hat die Gleichung

mit .

Uns interessiert dabei nur der Schnittpunkt mit , denn der liegt näher an als der andere, und dieser Schnittpunkt ist dann das gesuchte .

Ganz am Ende kann man natürlich mit und wieder in das Ausgangs-Koordinatensystem zurückkehren.
Approximix Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank,

ich bin leider noch nicht dazu gekommen, mir das genauer anzuschauen.

Gibt es außerdem noch eine andere, einfachere Lösung? All die Formeln zu programmieren wird auf den ersten Blick ziemlich aufwendig.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie HAL ja auch schon geschrieben hat, ist das Verhältnis der beiden oberen Dreiecksseiten in Deiner Zeichnung immer konstant. Es gilt also



Im Fall des Thaleskreises wird das Dreieck rechtwinklig, die oberen Seiten werden zu Katheten, es gilt also



und mit der ersten Gleichung somit



Ansonsten besitzt ein Kreis mit Radius um den Punkt grundsätzlich die Gleichung
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Es gilt also


Da muss ich widersprechen: Was ich oben nutze ist



wobei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Strecke ist. Die von dir angegebene Verhältnisgleichheit gilt m.E. nur dann, wenn die Winkelhalbierende von auch Winkelhalbierende von ist. Das dürfte bei allgemeiner Lage nicht der Fall sein. unglücklich

Zitat:
Original von Approximix
All die Formeln zu programmieren wird auf den ersten Blick ziemlich aufwendig.

Das klingt mir ein wenig wehleidig. Unter numerischen Aufwandsaspekt halte ich es sogar für ausgesprochen wenig: Außer den vier Grundrechenoperationen sind nur drei Quadratwurzeln zu bestimmen (für sowie die quadratische Gleichung zur Bestimmung von ), und keinerlei "teure" trigonometrische Operationen. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein kleiner Python-Code zur Berechnung von P4. Dabei identifiziere ich Punkte mit komplexen Zahlen, um so ein wenig Code zu sparen.

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