Konfidenzintervall

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31.03.2022, 19:03

Casey

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Konfidenzintervall

Weiss jemand wie ich hier vorgehen soll?

31.03.2022, 23:50

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Ich habe die Gelegenheit genutzt, um zu a) in meinen Unterlagen nachzuschlagen (weil ich diese Aufgaben so selten brauche):
Demnach gehorcht die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} U=\frac{(n-1)S^{2} }{\sigma^{2} } \end{eqnarray*}$ bei Vorliegen einer normalverteilten Grundgesamtheit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden. Hier: $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ .
Zum Niveau 0,95 gilt also zunächst
$\begin{eqnarray*} P\left(\chi_{0,025;n-1}^{2}\leq \frac{(n-1)S^{2} }{\sigma^{2} } \leq \chi_{0,975;n-1}^{2} \right) =0,95 \end{eqnarray*}$
wobei die Intervallgrenzen für die beiden Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung stehen.
Die Doppelungleichung in der Klammer kannst Du nun so umformen, dass letztlich $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ allein in der Mitte steht (algebraische Übungsaufgabe). Das liefert die Antwort zu i.
Dann liest Du die beiden Quantile aus Tabelle ab (Antwort zu ii.)
Schließlich setzt Du für $\begin{eqnarray*} S^{2} \end{eqnarray*}$ die empirische Varianz aus der konkreten Stichprobe ein (Antwort zu iii.)

Ich hoffe, dieser Ansatz entspricht Deinem bisherigen Vorlesungsinhalt.

Für b) fehlt mir momentan die Zeit, aber vielleicht schalten sich jetzt auch ausgebildete Stochastiker mit ein.

31.03.2022, 23:59

Casey

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Warum soll das allein in der Mitte stehen ?

Ich hätte einfach in dieser Formel Werte eingesetzt

Erst mal auch danke für deine Mühe Big Laugh

01.04.2022, 00:15

klauss

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Zitat:

Warum soll das allein in der Mitte stehen ?

Na, weil ein Konfidenzintervall für $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ gesucht ist, was hier die einzige Unbekannte ist.

01.04.2022, 00:37

Casey

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RE: Konfidenzintervall
$\begin{eqnarray*} P\left(\chi_{0,025;n-1}^{2}\leq \frac{(n-1)S^{2} }{\chi_{0,975;n-1}^{2} } \leq \sigma^{2} \right) =0,95 \end{eqnarray*}$

So vielleicht?

01.04.2022, 00:48

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Ich sehe auf den ersten Blick, dass $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ nicht in der Mitte steht.
Es handelt sich eher um eine Verschlechterung gegenüber dem Anfang, denn da stand $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ noch in der Mitte, nur eben nicht allein und auch noch im Nenner. Also muß man anders umformen.

01.04.2022, 01:12

Casey

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Wie kriege ich das hin das es in der Mitte bleibt ?

01.04.2022, 01:38

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Scheint wieder einer der Fälle zu sein, wo ein Fragesteller tief im Studium plötzlich mit elementaren Defiziten zu kämpfen hat ... Augenzwinkern

Vorausgeschickt: Bei Doppel-(Un-)Gleichungen sind Operationen auf alle 3 Abschnitte anzuwenden.

Maßnahme 1: Kehrwert bilden, damit $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ in den Zähler kommt und in der Mitte bleibt. Da wir es durchwegs mit positiven Termen zu tun haben, sind dabei die Ungleichheitszeichen umzudrehen.

Maßnahme 2: Mit dem Nenner des Mittelteils durchmultiplizieren.

Maßnahme 3: Ungleichung so drehen, dass wieder eine aufsteigende Ungleichungskette entsteht.

01.04.2022, 03:18

konfi

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zu b) :

Da steht schon in der Aufgabe was von "Formel aus dem Skript", also nutze diese doch.
(Die Formeln für a) hast du sicher auch mundgerecht im Skript stehen)

Es ist ein Vertrauensintervall für den Erwartungswert gegeben, welches nach Bauart stets symmetrisch zu diesem ist.
Durch diese Symmetrie kannst du mittels der Intervallgrenzen den Stichprobenmittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Auf das gesuchte Niveau kommst du mit der oben angesprochenen Formel durch Auflösen nach dem t-Quantil.

01.04.2022, 16:20

Casey

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RE: Konfidenzintervall
$\begin{eqnarray*} P\left(\chi_{0,025;n-1}^{2}\leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)S^{2} }{\chi_{0,975;n-1}^{2} } \right) =0,95 \end{eqnarray*}$

Besser ?

01.04.2022, 17:55

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Nicht wirklich. Insbesondere wurde

Zitat:

Bei Doppel-(Un-)Gleichungen sind Operationen auf alle 3 Abschnitte anzuwenden.

nicht beachtet.
Du mußt auch links den Kehrwert bilden: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\chi_{0,025;n-1}^{2} } \end{eqnarray*}$

Du mußt auch links multiplizieren: $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{0,025;n-1}^{2} } \end{eqnarray*}$

Da die Ungleichheitszeichen durch den Kehrwert umgedreht wurden, mußt Du die linke und rechte Seite vertauschen, um die Richtung wiederherzustellen: $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{0,975;n-1}^{2} } \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{0,025;n-1}^{2} } \end{eqnarray*}$
Das sollte einleuchten, denn da das 0,975-Quantil größer ist als das 0,025-Quantil, ist die Relation im Kehrwert bei gleichem Zähler umgekehrt.

01.04.2022, 18:47

Casey

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Interessant wusste ich nicht
Gut setze mal jetzt Werte ein Big Laugh

01.04.2022, 19:35

Casey

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Was sagst du dazu ?

Jetzt nur ausrechnen und fertig?

01.04.2022, 19:56

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Sieht richtig aus. Ist dann eben bestmöglich zu kürzen.
Das "=0,95" gehört dann nicht mehr dahin. Es geht nur um die Ungleichung, das Niveau folgt schon aus den Quantilen.

Ich habe in meinem letzten Beitrag einen Schreibfehler korrigiert (Nenner->Zähler).
In die Aufgabe b) schau ich nacher noch genauer rein.

01.04.2022, 19:58

Casey

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Ich warte dann auf deine tipps Big Laugh

01.04.2022, 20:05

konfi

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Zitat:

In die Aufgabe b) schau ich nacher noch genauer rein.

Zitat:

Ich warte dann auf deine tipps

Zitat:

Warum auch das hier einfach mal ausprobieren, würd ich auch nicht machen.
War eh nur nen Witz von mir. Rock

01.04.2022, 20:52

Casey

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Wisst ihr was gut passt?

01.04.2022, 20:58

Casey

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Wir haben im Prinzip im ersten Teil die 2 Box im Skript angewendet Big Laugh

Welche nehme ich für letzten Teil jetzt?

Bin euch echt dankbar

01.04.2022, 21:00

konfi

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Zitat:

Wisst ihr was gut passt?

Du hast ne Chance von 1 zu 4.
Die richtige Wahl hat auch wenig mit Mathe zu tun, du musst nur aufmerksam lesen können.
Versuche es mal - aber bitte mit Begründung. Gott

01.04.2022, 21:08

Casey

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Ich würde das vorschlagen ?

01.04.2022, 21:10

konfi

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Grund ?

01.04.2022, 21:21

Casey

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Da wir das arithmetische Mittel suchen und dieses 1-alpha

Aber leider haben wir u nicht gegeben ?
Keine Ahnung wie wir das jetzt bestimmen sollen

01.04.2022, 21:23

konfi

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Du kannst den Rest mit klauss gerne zu Ende führen.
Ich wollte ihm nur ersparen dir nochmal die ganzen Formeln extra vorkauen zu müssen.
Das ist ja unnötige Arbeit, wenn du sie eh vor dir im Skript stehen hast und laut Aufgabe ausdrücklich nutzen sollst.

Viel Erfolg Freude

01.04.2022, 21:24

klauss

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@Casey:
Ich habe die b) inzwischen durchgerechnet und meine erschöpfende Antwort vorbereitet.
Aufgabe a) hat gezeigt, dass Du wohl ein paar Zusatz-Erläuterungen gut gebrauchen könntest.
Aber laß mal einstweilen konfi machen.

Edit: Oder doch nicht?

01.04.2022, 21:26

konfi

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Übernimm gerne, klauss.
Ich wollte dir nur etwas Arbeit ersparen. Wink

01.04.2022, 22:04

klauss

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RE: Konfidenzintervall
In Ordnung, danke. konfi kann ja immer noch eingreifen, wenn ich Unsinn erzähle.

Also:
Gemäß Angabe wurde bereits eine Stichprobe zur Bestimmung eines Konfidenzintervalls für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bei unbekannter Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} \end{eqnarray*}$ durchgeführt, aus dessen Teilergebnissen nun Rückschlüsse gezogen werden sollen.

Die verwendete Testgröße ist Student-t-verteilt mit $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden. Hier: $\begin{eqnarray*} n=20 \end{eqnarray*}$ .

Die Formel für das Konfidenzintervall lautet (zwecks Lesbarkeit entschlackt):

$\begin{eqnarray*} \overline{x}-t\frac{s}{\sqrt{n} } \leq \mu \leq \overline{x}+t\frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ = Stichprobenmittelwert
$\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ = Stichprobenstandardabweichung
$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ = Quantil der Student-t-Verteilung zum gesuchten Niveau

Ermittelt wurde das Intervall

$\begin{eqnarray*} 0,31589 \leq \mu \leq 0,33611 \end{eqnarray*}$

Also kannst Du die Intervallgrenzen jeweils mit dem zugehörigen Ausdruck aus der Formel gleichsetzen. Das liefert 2 Gleichungen für 2 Unbekannte ( $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ).
Wenn Du $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ hast, kannst Du das Konfidenzniveau dazu in der Tabelle suchen, natürlich in der richtigen Sektion der hiesigen Freiheitsgrade.

01.04.2022, 22:24

Casey

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Habe erst mal eine generelle Frage
Woher weiss man den ganz sicher was für ein Verfahren man verwenden soll?
Also in dem Fall t Verteilung ?

01.04.2022, 22:32

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Das Verfahren erkennt man, indem man die Aufgabe genau liest!
Da erfährt man nämlich, dass nur eins der von Dir vorgelegten Schätzverfahren auf den Sachverhalt paßt.
t-Verteilung kommt dann laut Skript zum Einsatz.

01.04.2022, 22:52

Casey

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RE: Konfidenzintervall
$\begin{eqnarray*} 0,31589 =\overline{x}-t\frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

t = kann nicht berechnet werden ?

Habe doch nur s und n gegeben

01.04.2022, 23:09

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Neben dem Aufgabentext mußt Du auch meine Hinweise genau lesen:

Zitat:

Das liefert 2 Gleichungen für 2 Unbekannte

Stelle die 2. Gleichung auf und löse das kleine Gleichungssystem.

01.04.2022, 23:13

Casey

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RE: Konfidenzintervall
$\begin{eqnarray*} 0,31589 =\overline{x}-t\frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{x}+t\frac{s}{\sqrt{n} } = 0,33611 \end{eqnarray*}$

Soll ich zweite Gleichung nach x auflösen und in I einsetzen ?

01.04.2022, 23:24

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Da mache ich Dir keine Vorschriften. Ca. um die 8. Klasse herum wurden
- Gleichsetzungsverfahren
- Einsetzungsverfahren
- Additionsverfahren
vorgestellt, damit man im künftigen Leben das einem persönlich genehmste verwenden kann.

01.04.2022, 23:42

Casey

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$\begin{eqnarray*} t = \frac{0,02022*\sqrt{20} }{2*0,00025} = 180,85 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 0,31589 + t* \frac{s}{\sqrt{n} } = 0,31589 + 180,85* \frac{0,00025}{\sqrt{20} } \end{eqnarray*}$

Kommt ein etwas blöder Wert raus?

02.04.2022, 00:01

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Noch ein kleiner Lesehinweis:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ = Stichprobenstandardabweichung

Wenn Du das verwertest, kriegst Du das richtige $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und damit dann das richtige $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ .

02.04.2022, 00:18

Casey

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zum quadrat nehmen das s? s^2

02.04.2022, 00:22

klauss

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RE: Konfidenzintervall
In der Aufgabe ist die Stichprobenvarianz $\begin{eqnarray*} s^{2} \end{eqnarray*}$ gegeben. Du brauchst für die Formel die Stichprobenstandardabweichung $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

02.04.2022, 00:31

Casey

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$\begin{eqnarray*} t = \frac{0,02022 *\sqrt{20} }{2*\sqrt{0,00025} } = 2,86 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 0,31589 + t* \frac{s}{\sqrt{n} } = 0,326 \end{eqnarray*}$

Passt das ?

02.04.2022, 00:35

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Das waren auch meine Ergebnisse.
Welches Konfidenzniveau folgt daraus?

02.04.2022, 00:46

Casey

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Verstehe net wie ?
Habe doch alpha nicht oder bin ich blöd Big Laugh

02.04.2022, 00:55

klauss

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RE: Konfidenzintervall
Bis jetzt hast Du nur das Quantil $\begin{eqnarray*} t_{n-1;1-\alpha/2}=2,86 \end{eqnarray*}$ der t-Verteilung.
Jetzt mußt Du zur Tabelle greifen.

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