Funktionsterm zu e-Funktion

01.04.2022, 16:07

Amelie _

Funktionsterm zu e-Funktion

Meine Frage:
Mit dem Bild (beigefügt)und dem Ansatz g(x)=a?x?e^bx soll der Funktionsterm bestimmt werden aber ich komme einfach nicht weiter unglücklich

Meine Ideen:
Also ich habe g erstmal noch abgeleitet:
G verwirrt

x) = ae^bx(bx+1)

Dann habe ich folgenden Informationen abgelesen, sind das alle?
G(0)=0 -> bringt mir nichts, warum ist der Punkt markiert?
G verwirrt

-1)=0
G(-1)=-0,5
G(1)=4

Daraus folgt

-0,5= -a*e^-b
4=ae^b
0=-ae^-b(-b+1)

Ich weiß nicht ob das so stimmt und wie ich jetzt weiter vorgehen soll

01.04.2022, 16:10

Ameliee

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RE: Funktionsterm zu e-Funktion
Edit
Die ? Sind *
Und die Smileys sind natürlich—> (

01.04.2022, 16:51

funktionierer

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Ich würde mit g(1)=4 und g(-1)=-0,5 arbeiten (2 Bedingungen für die 2 gesuchten Unbekannten)

Da x=0 sowieso unabhängig von a und b eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} g(x)=a \cdot x \cdot e^{bx} \end{eqnarray*}$ ist, nimmt man das natürlich nicht als Bedingung.

Ob die Steigung in x=1 wirklich Null ist, könnte zwar sein, wäre aber nur geraten.

Zitat:

-0,5= -a*e^-b
4=ae^b

Du könntest z.B. eine Gleichung nach a auflösen und den erhaltenen Term für a dann in die andere Gleichung einsetzen.
Oder du dividierst die beiden Gleichungen direkt durcheinander (für a ungleich Null).

01.04.2022, 16:53

funktionierer

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Zitat:

Ob die Steigung in x=1 wirklich Null ist, könnte zwar sein, wäre aber nur geraten.

Korrektur:

Ob die Steigung in x = - 1 ...

01.04.2022, 17:07

Amelie123

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Ok also dann würde ich sagen

4=ae^b /:e^b
4/e^b=a

Dann einsetzen

-0,5=-4/e^b*e^-b
-0,5=-4*2e^-b /:-4
0,125=2e^-b /:2
0,0625=e^-b /ln
Ln(0,0625)=-b
B=2,77

Aber irgendwas muss ich falsch gerechnet haben, weil die Lösung muss ln(2) sein

01.04.2022, 17:19

funktionierer

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$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{e^b} \cdot e^{-b}=-4 \cdot e^{-b} \cdot e^{-b}= -4 \cdot e^{-2b} \end{eqnarray*}$

01.04.2022, 17:26

Amelie12:

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Ah ja ok das macht Sinn

Dann ist es

0,125= e^-2b
Ln(0,125)=-2b
B=1,04

Was mach ich falsch ?

01.04.2022, 17:32

funktionierer

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Wenn du exakte Werte raushaben willst, dann darfst du nicht runden.

ln(0,125)=ln(1/8)=ln(1)-ln(8)=-ln(8)=-ln(2³)=-3ln(2)

Somit dann also -2b=-3ln(2) <=> b = 1,5ln(2)

01.04.2022, 17:39

Amelie5

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Okk das ist mir einleuchtend
Die einzige Frage die sich mir stellt ist, warum die Lösung b=ln(2) handelt
Wahrscheinlich ein Fehler in der Lösung unglücklich

Vielen Dank für die Hilfe !!

01.04.2022, 17:48

funktionierer

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Für b=ln(2) würde a=2 rauskommen.
Du kannst dir den Graphen dazu ja mal anzeigen lassen, das passt nicht.
In so genannten Kontroll-Lösungen ist nicht selten auch mal was falsch. Wink

01.04.2022, 17:52

Amelie01

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Ahhh ja ok das ist wirklich eindeutig smile

Vielen Dank, sonst hätte ich da noch ewig rumprobiert

01.04.2022, 17:54

funktionierer

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Kein Problem, gutes Gelingen weiterhin. Freude

04.04.2022, 09:11

gast_free

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Gegeben
$\begin{eqnarray*} g(x)=a\cdot x\cdot e^{b\cdot x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(-1)=-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(1)=4 \end{eqnarray*}$

Gesucht:
$\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} -0,5=-a\cdot e^{-b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4=a\cdot e^b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=\frac{4}{e^b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,5=-\frac{4}{e^b}\cdot e^{-b}=-\frac{4}{e^{2\cdot b}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,125=e^{-2\cdot b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(0,125)=-2\cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-\frac{ln(0,125)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{4}{e^{-\frac{ln(0,125)}{2}}}=4\cdot e^{\frac{ln(0,125)}{2}}=\frac{4}{ \sqrt{8}}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

In die Funktion eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{2}\cdot x\cdot e^{{-\frac{ln(0,125)}{2}}\cdot x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{2}\cdot x\cdot [e^{ln(0,125)}]^{-\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{2}\cdot x\cdot [0,125]^{-\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{2}\cdot x\cdot [\frac{1}{8}]^{-\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{\sqrt{2}\cdot x}{[\frac{1}{8}]^{\frac{x}{2}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{2}\cdot x\cdot [2\cdot \sqrt{2}]^x \end{eqnarray*}$

---
Probe:
$\begin{eqnarray*} g(-1)=\sqrt{2}\cdot {(-1)}\cdot [2\cdot \sqrt{2}]^{-1}=-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(1)=\sqrt{2}\cdot [2\cdot \sqrt{2}]=2\cdot 2=4 \end{eqnarray*}$

Plot:

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