Tschebyscheff Ungleichung auf zwei Zufallsvariablen

04.04.2022, 12:19

Schaschaki

Tschebyscheff Ungleichung auf zwei Zufallsvariablen

Meine Frage:
Ich habe 2 Zufallsvarariablen B und L Binomialverteilt mit B(100,1/2) und B(100,3/4). Die erste Teilaufgabe besteht aus Erwartungswert und Varainz berechnen, der ist also gegeben. Die Nächste Teilaufgabe ist: Zeigen Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung, dass P(B>L)<=7/100, für die Wahrscheinlichkeit, dass B größer L.
Mein Problem mit dieser Aufgabe ist, dass ich verstehe wie man diese Wahrscheinlichkeit berechnet, aber mir ist unklar wie ich dort die Tschebyscheff Gleichung verwenden soll.

Meine Ideen:
Ich hab mich damit schon ein paar Stunden außeinandergesetzt und meine einzige Idee war, dass ich bei der Summe mit zwei Indizes, die entsteht wenn man

P(B>L) = SUM(i=1 bis 100)(P(B=i)*P(L<Bi) = SUM(i=1 bis 100, j<i) ( P(B=i)*P(L=j) ) umformt.
(Bi ist die Zerteilung von Binomial zu Bernoulli)

Und hier kann man den Teil
P(L<Bi) verschieben sodass P(L-E(L)<=Bi-1-E(L)) darauf die Tschebyscheff Ungleichung verwendet werden kann. Aber da die Betragsstriche fehlen muss hier noch eine Fallunterscheidung rein für Bi > oder < E(L). Weiterhin braucht man ja nicht Abweichung in jede Richtung, sonder nur in eine also muss noch 1/2 davor.
Das Ganze ist also ziemlich viel basteln bis man die Tschebyscheff Ungleichung verwenden kann und ich bin mir nichtmal sicher ob das alles passt.

Abseits davon ist das eine alte Klausur Aufgabe mit einem Zeitumfang von maximal 10 Minuten, eher weniger.
Ich habe im Internet noch einiges nachgeschaut, bin aber auf kein Ergebnis für die Aufgabe gekommen.
Würde mich also über jede Hilfe freuen Augenzwinkern

(Wenn ich wetten müsste würde ich sagen dass die Antwort in der Aufteilung von B := SUM(Bi), mit Bi Bernoulli-Verteilt liegt)

04.04.2022, 12:53

HAL 9000

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Betrachte $\begin{eqnarray*} X=B-L \end{eqnarray*}$ , dann wissen wir $\begin{eqnarray*} E(X)=E(B)-E(L) = 50-75 = -25 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V(X)=V(B)+V(L) = 25+18.75 = 43.75 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} P(B>L) = P(X>0) = P(X-(-25) > 25)\leq P\left(|X-E(X)| > 25\right)\leq \frac{V(X)}{25^2}= 0.07 \end{eqnarray*}$ .

Schlauer wäre es allerdings, die in diesem Fall günstigere Ungleichung von Cantelli anzuwenden, mit der kriegt man die etwas bessere Abschätzung $\begin{eqnarray*} P\left(X-E(X) > 25\right)\leq \frac{V(X)}{25^2+V(X)}= \frac{7}{107} \end{eqnarray*}$ hin.

04.04.2022, 13:18

Schaschak

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Ach, ja das ist natürlich ne super Lösung. Vielen dank smile

Das Ergebnis ist ja auch richtig, aber scheinbar hab ich die Aussage der Tschebyscheff-Ungleichung nicht richtig verstanden.
Denn was ich mich Frage ist: Warum muss ich hier nicht das ganze am schluss durch 2 teilen?
Nach meinem Verständnis gibt das

P(|X-E(X)| > 25)

doch die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung von X um mehr als 25 vom Erwartungswert in jede Richtung an.
Aber gesucht sind ja nur Abweichungen mit X > 0, also in die positive Richtung. Nach meinem Verständnis wäre bei deiner Lösung die Wahrscheinlichkeit für X<-50 ebenfalls mitgerechnet.

Naja nochmal vielen Dank, ich wäre auf die Lösung nie gekommen Augenzwinkern

04.04.2022, 13:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schaschak
Warum muss ich hier nicht das ganze am schluss durch 2 teilen?

Hinter deinem notorischen "durch 2 teilen" scheint die implizite Annahme zu stecken, dass X=B-L symmetrisch verteilt ist. Was allerdings nicht stimmt, weswegen deine Heuristik mit dem "durch 2 teilen" jeder seriösen Grundlage entbehrt. unglücklich

Was ich oben gemacht hatte, ist zunächst einfach die ziemlich grobe Abschätzung

$\begin{eqnarray*} P(X-E(X)>c) \leq P(X-E(X)>c) + P(X-E(X)<-c) = P(|E-E(X)|>c) \end{eqnarray*}$

was schlicht und einfach aus $\begin{eqnarray*} P(X-E(X)<-c)\geq 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Zitat:

Original von Schaschak
Nach meinem Verständnis wäre bei deiner Lösung die Wahrscheinlichkeit für X<-50 ebenfalls mitgerechnet.

Richtig, genau genommen habe ich somit $\begin{eqnarray*} P(X>0) + P(X<-50) \leq 0.07 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt, womit erst Recht auch $\begin{eqnarray*} P(X>0)\leq 0.07 \end{eqnarray*}$ folgt.

Genauer mit den beiden Binomialverteilungen nachgerechnet kommt übrigens $\begin{eqnarray*} P(X>0) \approx 0.000071679 \end{eqnarray*}$ heraus, und zum Vergleich $\begin{eqnarray*} P(X<-50) \approx 0.000037677 \end{eqnarray*}$ , soviel auch zur angenommenen Symmetrie.

04.04.2022, 14:59

Schaschaki2

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Ah ja das stimmt natürlich, dass X nicht symmetrisch ist Hammer

Auch interresant dass die Abschätzung so ungenau ist.

Bei der Aufgabe gibt es jetzt noch eine weitere Teilaufgabe, sodass die Teilnehmeranzahl (100) nun Poisson-Verteilt ist und damit natürlich L und B abhängig voneinander sind.
Die Teilaufgabe f) ist eigentlich genau das selbe wie die jetzige, aber ich komme da auch nicht auf das richtige Ergebnis.

[attach]54947[/attach]

Ich habe da für

E(L) = E(N) * p = 75
E(B) = E(N) * p = 50

V(L) = E(L^2) - E(L)^2 = E(N^2) * p^2 - E(N)^2 * p^2 = [E(N)^2 + E(N)] * p^2 - E(N)^2 = E(N)*p^2 = 56,25
mit E(N^2) = E(N)^2 + E(N), da poissonverteilt

V(B) = ... = E(N) * p^2 = 25 analog

Wenn ich jetzt hier Versuche X analog zu deiner Lösung aufzustellen mit der selben Abschätzung:

X:=B-L

E(X) = E(B) - E(L) = -25
V(X) = V(B) - V(L) - 2*Cov(L,B) = V(B) + V(L) - 2*Cov(L,B) = 56,25 + 25 - 75 = 6,25

nun:

P(B>L) = P(X>0) = ... analog wie vorhin .. <= P(|X - E(X)| > 25 >= V(x) / 25^2 = 6,25 / 625 = 1/100

Mir ist klar dass 1/100 < 8/100, aber ich bin mir unsicher ob ich nicht irgendwo etwas übersehen habe, denn ich würde annehmen dass ich auf die 8/100 kommen sollte.

04.04.2022, 15:44

HAL 9000

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Da du uns bei (a) die Legende verschwiegen hast und nun aber auf die verwiesen wird, muss ich nochmal nachhaken:

Bei (a) war von einer festen Anzahl $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ von Studierenden die Rede, und nun bei (d) ist das eine Poissonverteilte Anzahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ? Und die Anzahlen L,B sind nun bedingt binomialverteilt $\begin{eqnarray*} L\sim B\left(n,\frac{3}{4}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\sim B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , und bedingt unabhängig, und zwar diesmal unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ ? Ist das so zu verstehen?

In dem Fall sind deine Überlegungen zur Varianz falsch. Zudem sind $\begin{eqnarray*} B,L \end{eqnarray*}$ nur bedingt unabhängig jeweils unter Bedingung $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ , aber nicht mehr in Gänze unabhängig!!!

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Ist $\begin{eqnarray*} N\sim\mbox{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray*}$ sowie die $\begin{eqnarray*} Y\mid N=n \end{eqnarray*}$ bedingt binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty} E(Y\mid N=n)\cdot P(N=n) = \sum_{n=0}^{\infty} np\cdot P(N=n) = E(N)\cdot p = \lambda p \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} E(Y^2) = \sum_{n=0}^{\infty} E(Y^2\mid N=n)\cdot P(N=n) = \sum_{n=0}^{\infty} (np(1-p)+n^2p^2)\cdot P(N=n) = E(N)\cdot p(1-p) + E(N^2)p^2 = \lambda p(1-p) + (\lambda + \lambda^2)p^2 = \lambda p + \lambda^2 p^2 \end{eqnarray*}$

und folglich $\begin{eqnarray*} V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = \lambda p \end{eqnarray*}$ .

Es folgt somit $\begin{eqnarray*} E(B)=50,E(L)=75 \end{eqnarray*}$ , aber - Überraschung! - auch $\begin{eqnarray*} V(B)=50,V(L)=75 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

(Anmerkung: Genauer gesagt ist $\begin{eqnarray*} Y\sim\mbox{Poisson}(\lambda p) \end{eqnarray*}$ , kannst du gern mal nachrechnen, brauchen wir hier aber nicht.)

Auch die Kovarianz kann, ja muss man auf diese Weise angehen: Hier kann man zunächst die bedingte Unabhängigkeit von B,L nutzen für

$\begin{eqnarray*} E(BL) = \sum_{n=0}^{\infty} E(BL\mid N=n)\cdot P(N=n) = \sum_{n=0}^{\infty} E(B\mid N=n)\cdot E(L\mid N=n)\cdot P(N=n) = \sum_{n=0}^{\infty} 0.5n\cdot 0.75n\cdot P(N=n) = 0.375 E(N^2) = 3787.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{cov}(B,L) = E(BL)-E(B)E(L) = 37.5 \end{eqnarray*}$

Somit gilt für $\begin{eqnarray*} X=B-L \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} V(X) = V(B)+V(L)-2\mbox{cov}(B,L) = 50 + 75 - 75 = 50 \end{eqnarray*}$

Die gleiche Abschätzung wie oben liefert $\begin{eqnarray*} P(X>0) \leq P(|X+25|> 25)\leq \frac{V(X)}{25^2} = \frac{50}{25^2} = 0.08 \end{eqnarray*}$ .

04.04.2022, 16:14

Schaschaki2

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Also hier noch die ganze Aufgabe

[attach]54948[/attach]

und ja: Bei der a) war die Anzahl der Studierenden festgelegt auf 100 und nun wird die Anzahl der Studierenden auf N gelegt mit N ~ Poisson(100)

Dass L und B damit nichtmehr unabhängig sind macht für mich logisch Sinn und wird ja auch in der e) gezeigt.

Deshalb habe ich ja auch in meiner Berechnung von Var(X) = Var(B-L) = Var(B) + Var (L) - 2*Cov(B,L) gerechnet.

Ich bin mir unsicher wie ich sonst bei der Varianz vorgehen sollte.

04.04.2022, 16:19

Schaschaki2

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Ach jetzt fällt mir mein Fehler auch auf.
Ich habe das ganze bei E(Y) nicht über die Summenformel berechnet sonder bin direkt zu E(Y) = n * p gesprungen und habe dann einfach E(N) verwendet.

Deshalb kam bei mir am Ende (E(N)^2 + E(N))*p^2 raus und nicht E(N)^2*p^2 + E(N)*p
Da hätte ich mir wohl lieber Zeit gelassen und es ausführlich hingeschrieben, dann wäre das klar gewesen.

Danke für die Hilfe und die ausführliche Erklärung Gott

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