Punkte auf Kreis

04.04.2022, 21:11

Mathema

Punkte auf Kreis

Mal wieder etwas "seichte" Geometrie:

Sei $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein spitzwinkliges Dreieck. Die senkrechte Gerade zu $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ schneide den Kreis mit Durchmesser $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ in den Punkten $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ . Die senkrechte Gerade zu $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ schneide den Kreis mit Durchmesser $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ in den Punkten $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Man beweise, dass $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ konzyklisch sind.

Viel Spaß. smile

05.04.2022, 07:00

Leopold

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Mit den in der Dreiecksgeometrie üblichen Bezeichnungen muß der gesuchte Kreis den Mittelpunkt $\begin{align*} A \end{align*}$ und den Radius $\begin{align*} \sqrt{bc \cos(\alpha)} \end{align*}$ besitzen.

Wir berechnen ein paar Skalarprodukte.

Da $\begin{align*} P \end{align*}$ auf dem Thaleskreis von $\begin{align*} b \end{align*}$ liegt, folgt:

$\begin{align*} \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{CP} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \overrightarrow{AP} \cdot \left( \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} \right) = 0 \end{align*}$

Daraus ergibt sich

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \overrightarrow{AP}^{\, 2} = \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} \end{align*}$

Da $\begin{align*} P \end{align*}$ auf der Höhengeraden von $\begin{align*} b \end{align*}$ liegt, folgt:

$\begin{align*} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{PB} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \overrightarrow{AC} \cdot \left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP} \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} \end{align*}$

Daraus erhält man

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = bc \cos(\alpha) \end{align*}$

Und aus $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ folgt

$\begin{align*} \overrightarrow{AP}^{\, 2} = bc \cos(\alpha) \end{align*}$

Die Konstruktion ist bezüglich der Dreiecksseiten $\begin{align*} b \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ analog aufgebaut. Es muß sich daher mutatis mutandis ebenso

$\begin{align*} \overrightarrow{AR}^{\, 2} = bc \cos(\alpha) \end{align*}$

ergeben. Die Punkte $\begin{align*} P, Q, R, S \end{align*}$ liegen daher auf einem Kreis um $\begin{align*} A \end{align*}$ vom Radis $\begin{align*} \sqrt{bc \cos(\alpha)} \end{align*}$ .

05.04.2022, 10:50

Mathema

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Es geht auch alternativ mit Sehnensatz. Seien $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \end{eqnarray*}$ die Höhenfußpunkte.

[attach]54955[/attach]

Das Viereck $\begin{eqnarray*} PCQX \end{eqnarray*}$ ist dann ein Sehnenviereck und es gilt:

(1): $\begin{eqnarray*} HC\cdot HX=HP\cdot HQ \end{eqnarray*}$

Das Viereck $\begin{eqnarray*} RBSZ \end{eqnarray*}$ ist dann ein Sehnenviereck und es gilt:

(2): $\begin{eqnarray*} HR \cdot HS=HZ\cdot HB \end{eqnarray*}$

Nun ist das Produkt der Höhenabschnitte im Dreieck gleich (was natürlich auch nur wieder der Sehnensatz ist, wie auch HAL hier mal festgestellt hat). Somit:

(3): $\begin{eqnarray*} HC\cdot HX=HZ\cdot HB \end{eqnarray*}$

Es folgt somit $\begin{eqnarray*} HR \cdot HS=HP\cdot HQ \end{eqnarray*}$ und damit die Aussage.

Weitere Lösungen natürlich willkommen.

Nun gut - dann die $\begin{eqnarray*} (**) \end{eqnarray*}$ Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} \Gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Gamma_2 \end{eqnarray*}$ zwei konzentrische Kreise mit $\begin{eqnarray*} \Gamma_2 \end{eqnarray*}$ innerhalb von $\begin{eqnarray*} \Gamma_1 \end{eqnarray*}$ . Von einem Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \Gamma_1 \end{eqnarray*}$ zeichne man die Tangente $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} \Gamma_2 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} B\in\Gamma_2 \end{eqnarray*}$ ). Sei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ der zweite Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Gamma_1 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Eine Gerade durch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schneide $\begin{eqnarray*} \Gamma_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ so, dass die Mittelsenkrechten von $\begin{eqnarray*} DE \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CF \end{eqnarray*}$ sich in einem Punkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ schneiden. Man bestimme das Verhältnis $\begin{eqnarray*} \frac{AM}{MC} \end{eqnarray*}$ .

05.04.2022, 13:55

HAL 9000

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Laut Sekanten-Tangenten-Satz vom Kreis $\begin{eqnarray*} \Gamma_2 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} |AE|\cdot |AF| = r_1^2-r_2^2 = |AB|^2 = \frac{|AB|}{2}\cdot 2|AB| \stackrel{!}{=} |AD|\cdot |AC| \end{eqnarray*}$

Damit liegen die vier Punkte $\begin{eqnarray*} C,D,E,F \end{eqnarray*}$ auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt das in der Aufgabenstellung beschriebene $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein muss.

Wenn nun $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ speziell auf Gerade $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ (= Gerade $\begin{eqnarray*} CD \end{eqnarray*}$ ) liegt, dann geht das nur, wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} CD \end{eqnarray*}$ ist. Somit ist $\begin{eqnarray*} |AM| = \frac{1}{2}\left(|AD|+|AC|\right) = \frac{5}{8}|AC| \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} |MC| = |AC|-|AM| = \frac{3}{8}|AC| \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} \frac{|AM|}{|MC|} = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ .

05.04.2022, 20:26

Leopold

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@ Mathema
Mir scheinen Y und Z durcheinandergekommen zu sein.

06.04.2022, 10:51

Mathema

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Das ging ja wieder schnell. Ihr seid viel zu gut. traurig

@Leopold: Danke, ich hatte auf meinem Zettel die Variablen vertauscht - stimmt. Ich habe es oben geändert.

17.07.2022, 12:31

Mathema

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Hier dann noch ein aktuelles Problem. 7 Punkte sind zu ergattern. Augenzwinkern

[attach]55610[/attach]

Viel Spaß!

27.07.2022, 22:25

Gualtiero

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Ein ziemlich schwieriges Problem! Bis jetzt habe ich nur die Angaben in eine Skizze umsetzen können.

[attach]55699[/attach]

In einem regelmäßigen Fünfeck sind alle Bedingungen erfüllt, und T ist Mittelpunkt des Kreises und des Fünfecks. Ob das ein Ansatz ist, weiß ich (noch?) nicht.

EDIT: Skizze ergänzt

28.07.2022, 11:03

Mathema

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Zitat:

Original von Gualtiero
Bis jetzt habe ich nur die Angaben in eine Skizze umsetzen können.

Das ist eigentlich der schwierigste Teil der Aufgabe. smile

Die (offensichtliche) sss Kongruenz von BCT und TDE ist dir ja schon aufgefallen. Ein nächster Schritt wäre sich die Ähnlichkeit von STE und QBT zu überlegen.

29.07.2022, 09:24

Gualtiero

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Danke für die Tipps!

Also die zwei Dreiecke BCT und TDE erhalten schon laut Angabe drei Seiten, die sich in der Länge jeweils entsprechen. Also sind auch in jedem dieser zwei Dreiecke die Winkel gleich (habe die Zeichnung ergänzt und ausgetauscht).

Die violett markierten Winkel in S und Q berechnen sich auf gleiche Weise: 180° - (roter + blauer + grüner Winkel), daher sind die Dreiecke STE und QTB ähnlich.

Soeben fällt mir auf, dass Dreieck CDT gleichschenklig (mit Basis CD) sein muss; der grüne Winkel ist der Basiswinkel.

Ich beende mal, hier gibt es noch einiges zu überlegen!

EDIT: Falsch.

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