Matheolympiade Zahlentheorie

05.04.2022, 16:04

Hansi1

Matheolympiade Zahlentheorie

Meine Frage:
In der 3. Runde der diesjährigen Matheolympiade war die letzte und damit schwierigste Aufgabe in Klassen 11/12: Man finde alle n, für die $\begin{eqnarray*} 2n^{4}+1 \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist.

Meine Ideen:
In der Musterlösung gibt es einen Beweis, der für meine Begriffe, unter Wettbewerbsbedingungen ziemlich schwierig zu finden ist. Eigentlich führt doch Betrachtung Modulo 5 recht einfach und schnell zur Lösung - dass es bis auf 0 keine weiteren n gibt oder übersehe ich hier etwas, denn dieser Lösungsweg erscheint für die letzte Aufgabe doch etwas simpel...

05.04.2022, 16:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hansi1
Eigentlich führt doch Betrachtung Modulo 5 recht einfach und schnell zur Lösung

Details?

EDIT: Schweigen im Walde. Ich würde nur gern verstehen, wie das funktionieren soll. Ja, man bekommt recht schnell aus der Restebetrachtung heraus, dass allenfalls $\begin{eqnarray*} n\equiv 0\bmod 5 \end{eqnarray*}$ möglich ist. Modulo 4 ist zudem klar, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch gerade sein muss, was mit $\begin{eqnarray*} n=10m \end{eqnarray*}$ das Problem hin zum Term $\begin{eqnarray*} 20000m^4+1 \end{eqnarray*}$ verlagert. Aber wie begründet man, dass das für $\begin{eqnarray*} m\neq 0 \end{eqnarray*}$ kein Quadrat sein kann - kurzum, ich hab keine Ahnung, wie dein Weg zum Erfolg führt. verwirrt

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