Lineare Transformation einer poissonverteilten Zufallsvariable

05.04.2022, 16:40

Secori

Lineare Transformation einer poissonverteilten Zufallsvariable

Ich habe eine Frage aus einer alten Klausur gefunden:

$\begin{eqnarray*} X_1,X_2,...,X_n \end{eqnarray*}$ seien
$\begin{eqnarray*} B_{(1,p)} \end{eqnarray*}$ Verteilt
und $\begin{eqnarray*} Y := \sum \limits_{k = 1}^{N} X_k \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Poissonverteilt mit $\begin{eqnarray*} P_\lambda \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auch Poissonverteilt ist und man soll $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ angeben, zu dem $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Poissonverteilt ist.
Die Lösung die bei der Aufgabe dabei steht ist:

$\begin{eqnarray*} E[Y] = N * p \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Poissonverteilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Poissonverteilt zum Parameter $\begin{eqnarray*} \mu = N*p \end{eqnarray*}$

Ich habe mir darüber einige Gedanken gemacht und mir war eigentlich klar dass das ganze Poissonverteilt sein muss. Ich habe mich aber gefragt ob man einfach so darauf schließen kann dass Y Poissonverteilt ist wenn man nur den Erwartungswert betrachtet.
Ich habe dann auch gegoogelt ob Poissonverteilungen bei Lineartransformationen immer Poissonverteilt bleiben.

Aber ich bin mir unsicher geworden ob das stimmt.

Dazu habe ich folgendes überlegt:

Sei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unsere Poisson verteilte variable mit $\begin{eqnarray*} P_\lambda \end{eqnarray*}$
dann sieht diese aus: $\begin{eqnarray*} Y = \frac{\lambda ^ k}{k!} * e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} X = a * Y \end{eqnarray*}$
Nun ist klar, dass $\begin{eqnarray*} E[X] = E[a * Y] = a * E[Y] \end{eqnarray*}$
und dementsprechend würde ich mit $\begin{eqnarray*} E[Y] = \lambda \end{eqnarray*}$ erwarten, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Poissonverteilt ist mit $\begin{eqnarray*} E[X] = 2 * \lambda \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} X = \frac{(\lambda * 2) ^ k}{k!} * e^{-(\lambda*2)} \end{eqnarray*}$

aber wenn man über den Weg geht, dass $\begin{eqnarray*} X = 2 * Y = 2 * \frac{\lambda ^ k}{k!} * e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$
so erhält man ein anderes Ergebnis.

Deshalb ist meine Frage, ob die Begründung dass eine lineare Transformation einer Poisson verteilten Zufallsvariable ebenfalls Poisson Verteilt ist so ausreicht.
Denn ich verstehe nicht wieso das "offensichtlich" sein soll.

05.04.2022, 16:54

Secori

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Jetzt ist mir doch eine mögliche Erklärung eingefallen, aber ich habe keine Ahnung wie man das in mathematische Form bekommt.

Und zwar ist ja die Herkunft der Poisson-Verteilung eine Binomialverteilung mit sehr großem n, sodass es erwartbar ist, dass in einem "Zeitraum" maximal einen "Treffer" geben kann. Da wir hier allerdings mit einer Bernoulli-Verteilung angfangen ( $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ) ist bereits klar dass es nur einen "Treffer" pro "Zeiteinheit" geben kann. Also ist das N (wie groß es auch ist) immer groß genug um nur einen "Treffer" pro "Zeiteinheit" zuzulassen und damit kann man die Poisson - Binomial approximation nutzen ohne einen Limes zu verwenden. Dann wäre für mich auch klar wieso die Antwort offensichtlich ist.

Ich hätte dazu trotzdem gerne eure Gedanken gehört und vielleicht hat auch jemand einen Beweis oder ähnliches dazu ob das überhaupt richtig und der Grund ist.

LG

07.04.2022, 13:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Secori
$\begin{eqnarray*} X_1,X_2,...,X_n \end{eqnarray*}$ seien
$\begin{eqnarray*} B_{(1,p)} \end{eqnarray*}$ Verteilt
und $\begin{eqnarray*} Y := \sum \limits_{k = 1}^{N} X_k \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Poissonverteilt mit $\begin{eqnarray*} P_\lambda \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auch Poissonverteilt ist und man soll $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ angeben, zu dem $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Poissonverteilt ist.

Unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ (für festes n) ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ . Damit folgt per Totaler Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(Y=k) &=& \sum_{n=k}^{\infty} P(N=n)\cdot P(Y=k\mid N=n) = \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}\cdot \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = e^{-\lambda} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^k\cdot \lambda^{n-k}}{k! (n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}\\ &=& \frac{(\lambda p)^k}{k!} e^{-\lambda}\cdot \sum_{n=k}^{\infty} \frac{(\lambda(1-p))^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{(\lambda p)^k}{k!} e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda(1-p)} = \frac{(\lambda p)^k}{k!} e^{-\lambda p} \end{eqnarray*}$

Das ist die Poissonverteilung mit Parameter $\begin{eqnarray*} \mu = \lambda p \end{eqnarray*}$ .

Dabei habe ich allerdings die Voraussetzung genutzt, dass $\begin{eqnarray*} N,X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ unabhängig sind - das hast du wohl vergessen zu erwähnen.

Zitat:

Original von Secori
dass eine lineare Transformation einer Poisson verteilten Zufallsvariable ebenfalls Poisson Verteilt ist

Das ist schlicht falsch, und zwar ziemlich offensichtlich, wenn man sich einfach nur die Werte anschaut, die eine Poissonverteilte Zufallsgröße annehmen kann. unglücklich

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