Krümmungswinkel von der Innenseite einer Kugel berechnen

05.04.2022, 21:35	Born	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungswinkel von der Innenseite einer Kugel berechnen Meine Frage: Es ist eine perfekt runde Kugel gegeben mit dem Radius r. Die Kugel ist hohl. Du befindest dich auf der Innenseite dieser Kugel und willst ausrechnen wie hoch die Steigung ist. (Winkel) Finde eine Allgemeine Formel sofern möglich. Rechne den Winkel für einen Radius von 50, 100 und 250 Metern aus. Ich habe keine Ahnung ob es eine Allgemeine lösung gibt. Ich habe schon im internet gesucht, bin aber nicht richtig fündig geworden, oder habe es nicht verstanden. Meine Ideen: Vielleicht den Satz des Pythagoras benutzten?
05.04.2022, 22:55	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Wiederholung. Steigung bedeutet, wenn man einen Meter $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ geht, um wie viel Meter $\begin{eqnarray} \Delta y \end{eqnarray}$ gelangt man dann nach oben. Die Steigung ist der Quotient $\begin{eqnarray} \tfrac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray}$ bzw. für kurviges Gelände der Differentialquotient $\begin{eqnarray} \tfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}. \end{eqnarray}$ Nun ist diese Steigung bezüglich der Kugel allerdings davon abhängig, wo du dich befindest und in welche Richtung du dich bewegst. Genau genommen würde man hier also die Richtungsableitung benötigen. Vermutlich ist einfach die radiale Richtung gemeint. Aufgrund der Rotationssymmetrie der Kugel genügt dann die Betrachtung eines Längenkreises. Die Steigung ist dann nur noch vom radialen Abstand abhängig. Wie sie zu ermitteln ist? Du legst den Kreis in den Koordinatenursprung und hast dann die Kreisgleichung $\begin{eqnarray} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray}$ gemäß Pythagoras. Nun benutzt du $\begin{eqnarray} x\ge 0 \end{eqnarray}$ als den radialen Abstand. Variante 1. Die Gleichung wird nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ umgestellt, wodurch sich eine Funktion in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ergibt. Die wird wie üblich abgeleitet um den Anstieg zu erhalten. Der Anstieg ist der Tangens des Steigungswinkels. Variante 2. Implizites Differenzieren. Danach muss aber trotzdem einmal die Kreisgleichung nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ umgestellt werden. Der Rest wie zuvor. Ich würde empfehlen, beide Varianten durchzurechnen.
06.04.2022, 08:51	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenfrage: Was wäre denn der Unterschied zwischen Außen- und Innenseite?
06.04.2022, 11:03	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmungswinkel von der Innenseite einer Kugel berechnen 100% sicher bin ich mir noch nicht, welcher (Steigungs-)Winkel tatsächlich gefragt ist, aber ich gehe stark davon aus, dass die Aufgabe ohne Ableitung gelöst werden soll. Schon gar nicht implizit. Ich würde es so versuchen: [attach]54957[/attach] $\begin{eqnarray} \alpha=\arccos\left(\frac{x}{r} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta=90°-\alpha=90°-\arccos\left(\frac{x}{r} \right) \end{eqnarray}$ Wenn das nicht gemeint war, kann man ja irgendwie umstellen.

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