Schnittgerade von 3 Ebenen nachweisen |
| 06.04.2022, 19:49 | hfbsjuvwvrichard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schnittgerade von 3 Ebenen nachweisen Folgende Hausaufgabe ist zu lösen: Weisen Sie nach, dass drei Ebenen, die sich einer Geraden schneiden, paarweise verschieden sein können. Die Überlegung ist also, dass sich drei Ebenen, die alle verschieden (also nicht identisch sind/keine Vielfachen voneinander sind) in einer Gerade und nicht, wie üblicherweise nur in einem Punkt, schneiden. Dass das möglich ist, ist mir klar. Das Problem ist bloß, dass es allgemeingültig (also nicht anhand eines Beispiels) aufgeschrieben werden muss. Meine Ideen: Ich las bereits in einer anderen Frage auf dieser Seite, dass das der Fall ist (Schnittgerade, statt Schnittpunkt), wenn im Gauß Algorithmus eine Gleichung komplett wegfällt. Heißt dass, das in einer Zeile einfach nur Nullen stehen (sprich Nullzeile mit wahrer Aussage)? Danke für eure Hilfe. |
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| 06.04.2022, 20:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine lineare Gleichung der Form wobei nicht alle Koeffizienten zugleich 0 sind, beschreibt in einem kartesischen -Koordinatensystem eine Ebene. Nun mögen drei solche Gleichungen, also ein lineares Gleichungssystem in drei Gleichungen und drei Unbekannten , vorliegen, so daß keine zwei der drei Ebenen identisch oder echt-parallel sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die linken Seiten der Gleichungen keine Vielfachen voneinander sind. Man könnte auch sagen: wenn die Normalenvektoren der Ebenen keine skalaren Vielfachen voneinander sind. Hat nun das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, was sich im Gaußschen Algorithmus dadurch zeigt, daß eine Gleichung ganz wegfällt, so schneiden sich die drei Ebenen in einer Geraden. |
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| 06.04.2022, 20:46 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Schnittgerade von 3 Ebenen nachweisen Auch wenn Leopold schon die allgemeine Überlegung dargelegt hat möchte ich kurz auf die Aufgabenformulierung eingehen.
Bedeutet nichts anderes als: Es gibt drei paarweise verschiedene Ebenen, deren Schnittmenge eine Gerade ist. Es reicht also ein Beispiel. Es bedeutet nicht: Zu zwei verschiedenen Ebenen existiert immer eine dritte Ebene, so dass die Ebenen paarweise verschieden sind und sich in einer Geraden schneiden. |
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