Vereinfachung Vektorabstand

08.04.2022, 23:14	Inception	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachung Vektorabstand Hi. Ich komme mit der folgenden Näherung nicht klar. $\begin{eqnarray} r_0=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2} \approx r-\xi\sin\theta\cos\phi-\eta\sin\theta\sin\phi-\zeta\cos\theta \end{eqnarray}$ Ausgangspunkt sind zwei reellwertige Vektoren $\begin{eqnarray} (x,y,z)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\xi, \eta, \zeta)^T \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} r_0 \end{eqnarray}$ beschreibt den Abstand der beiden Punkte, auf den die Vektoren zeigen. Beide Vektoren haben den gleichen Ursprung. Für die Koordinaten ist anzunehmen $\begin{eqnarray} x>>\xi<br /> y>>\eta<br /> z>>\zeta \end{eqnarray}$ bzw. in Kugelkoordinaten $\begin{eqnarray} r>>\xi, \eta, \zeta \end{eqnarray}$ . Der Vektor $\begin{eqnarray} (x,y,z)^T \end{eqnarray}$ wird in Kugelkoordinaten angegeben. Es gilt $\begin{eqnarray} x=r\sin\theta\cos\phi<br /> y=r\sin\theta\sin\phi<br /> z=r\cos\theta \end{eqnarray}$ Ich sehe nicht, was ich nach der binomischen Expansion tun muss, um auf die Näherung zu kommen. $\begin{eqnarray} r_0=\sqrt{r^2\sin^2\theta\cos^2\phi+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\theta+\xi^2+<br /> \eta^2+\zeta^2-2r\xi\sin\theta\cos\phi-2r\eta\sin\theta\sin\phi-2r\zeta\cos\theta} \end{eqnarray}$ (Das alles steht in einer Zeile unter der Wurzel. Keine Ahnung, wie ich das editiert bekomme.)
09.04.2022, 00:02	Inception	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, ich bin ein Stück weiter. $\begin{eqnarray} r_0=\sqrt{x^2+y^2+z^2+\xi^2+\eta^2+\zeta^2-2x\xi-2y\eta-2z\zeta} \end{eqnarray}$ Und dann mit $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=r^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi^2=\eta^2=\zeta^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_0\approx\sqrt{r^2-2(\xi\sin\theta\cos\phi+\eta\sin\theta\sin\phi+\zeta\cos\theta)} \end{eqnarray}$ Und nun?
09.04.2022, 00:07	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoriell geschrieben lautet die Näherung $\begin{eqnarray} \|\mathbf x-\boldsymbol\xi\| \approx \|\mathbf x\| - \langle\boldsymbol\xi,\mathbf e_{\theta,\phi}\rangle, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \mathbf x=(x,y,z)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \boldsymbol\xi = (\xi,\eta,\zeta)^T \end{eqnarray}$ sein soll und $\begin{eqnarray} \mathbf e_{\theta,\phi} = \mathbf x/\|\mathbf x\| \end{eqnarray}$ der Einheitsvektor in Richtung von $\begin{eqnarray} \mathbf x. \end{eqnarray}$ Ein Skalarprodukt mit einem Einheitsvektor bedeutet immer die Komponente in diese Richtung, wie man sich mit der orthogonalen Projektion verdeutlichen kann. Betrachten wir nun die Ebene, die die Vektoren $\begin{eqnarray} \mathbf x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \boldsymbol\xi \end{eqnarray}$ aufspannen, sofern sie nicht ausgerechnet kollinear sind. Macht man nun eine Skizze, findet man, dass da für ein kleines $\begin{eqnarray} \|\boldsymbol\xi\| \end{eqnarray}$ schlicht eine Hypotenuse durch eine Ankathete genähert wird, sofern mich nicht alles täuscht.
09.04.2022, 10:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Rein algebraisch: $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2 - 2b}= \sqrt{(a - b)^2 - b^2 + 2ab - 2b} \end{eqnarray}$ . Wenn jetzt $\begin{eqnarray} (a-b)^2 \gg b^2 + 2ab - 2b \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2 - 2b} \approx \sqrt{(a - b)^2 } = \|a-b\| \end{eqnarray}$ .
11.04.2022, 21:04	Inception	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten. Ich habe mal den Bronstein aufgeschlagen und das Folgende gefunden. Das Binom $\begin{eqnarray} (a\pm x)^m \end{eqnarray}$ kann auch so geschrieben werden: $\begin{eqnarray} a^m(1\pm x/a)^m \end{eqnarray}$ . Außerdem gilt für die binomische Reihe mit $\begin{eqnarray} m=1/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1\pm X)^{1/2}=1\pm 1/2X-\frac{1\cdot 1}{2\cdot 4}X^2\pm \frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}X^3-\frac{1\cdot1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8}X^4\pm\text{ }... \end{eqnarray}$ Setzt man nun $\begin{eqnarray} a=r^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x=2(x\xi-y\eta-z\zeta) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X=x/a \end{eqnarray}$ , ergibt sich $\begin{eqnarray} \sqrt{r^2-2(x\xi+y\eta+z\zeta))}\approx r(1-\frac{1}{2}\frac{2(x\xi+y\eta+z\zeta)}{r}=r-x\xi-y\eta-z\zeta \end{eqnarray}$ , was genau der Näherung entspricht, die im Buch angegeben wurde. Weil ja wie angenommen $\begin{eqnarray} r>>\xi, \eta, \zeta \end{eqnarray}$ wird die Reihe nur bis $\begin{eqnarray} r^{-1} \end{eqnarray}$ entwickelt.

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