Lineare Abbildung, unendlich dimensionaler Vektorraum

10.04.2022, 10:04	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, unendlich dimensionaler Vektorraum Meine Frage: Hi, ich habe folgende Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} c_{0} \end{eqnarray}$ die Menge aller Folgen $\begin{eqnarray} (x_{n}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A:c_{0}\to c_{0} \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Sind die folgenden Aussagen äquivalent? (i) Es gibt $\begin{eqnarray} x_{0} \in c_{0} \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} x_{0} = Ay \end{eqnarray}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray} y \in c_{0} \end{eqnarray}$ hat. (ii) Für alle $\begin{eqnarray} x \in c_{0} \end{eqnarray}$ existiert $\begin{eqnarray} y \in c_{0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x = Ay \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Aus (i) folgt, dass $\begin{eqnarray} Ker(A)=\{0\} \end{eqnarray}$ gilt. Im endlich-dimensionalen Fall hätte ich einfach mit dem Dimensionssatz argumentiert, allerdings ist das hier ja nicht möglich. Ein Gegenbeispiel habe ich bis jetzt auch noch nicht gefunden. Hat jemand Ideen?
10.04.2022, 10:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung, unendlich dimensionaler Vektorraum Die Aussage ist falsch: Man betrachte den Translationsoperator $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , gegeben durch $\begin{eqnarray} (Ax)_0 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Ax)_n = x_{n-1} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ ist.

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