Reihenkonvergenz

10.04.2022, 17:52	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenkonvergenz Hallöchen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty}( k-\sqrt{k^2+1} )(x+2)^k \end{eqnarray}$ soll konvergieren. Die Frage lautet für welche x konvergiert die Reihe? Ich dachte erst man könnte die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium lösen, bin damit aber nicht weiter gekommen... Also fehlt mir leider der Zielführende Ansatz.
10.04.2022, 18:15	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz Fehlt da eine Klammer? EDIT: Argh, falsch geguckt!
10.04.2022, 18:19	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz Also die Aufgabe ist genauso gestellt worden, man könnte sie noch zusätzlich klammern als $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty}(( k-\sqrt{k^2+1} )(x+2)^k) \end{eqnarray}$
10.04.2022, 18:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter Nutzung von $\begin{eqnarray} k-\sqrt{k^2+1} = -\frac{1}{k+\sqrt{k^2+1}} \end{eqnarray}$ ergibt sich die Konvergenz für $\begin{eqnarray} -1\leq x+2<1 \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} -3\leq x < -1 \end{eqnarray}$ . Man beachte insbesondere, dass für $\begin{eqnarray} x=-3 \end{eqnarray}$ Konvergenz laut Leibnizkriterium vorliegt, während man die Divergenz für $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ durch eine divergente Minorante in Form einer Harmonischen Reihe hat.

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