Wahrscheinlichkeitsfunktion für Event bei unabhängigen Eintretensbedingungen kombinieren

13.04.2022, 10:44

Bensen85

Wahrscheinlichkeitsfunktion für Event bei unabhängigen Eintretensbedingungen kombinieren

Hallo,

bitte nicht gleich steinigen Forum Kloppe

, ich hatte diese Frage bereits unter der thread id 601720 gestellt, aber aus falscher Faulheit ohne Registrierung. Könnte ein Admin den anderen Thread bitte löschen? (Es hängt ohnehin noch keine Antwort dran).

Willkommen im Matheboard!
Ich hab den anderen Thread gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

Ich versuche zu ermitteln, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Systemfehlers durch Versagen einer Komponente des Systems ist, wenn für den Systemfehler parallel zum Versagen weitere unabhängige Faktoren zutreffen müssen. Zudem würde ich die Ausfallwahrscheinlichkeit gerne auf einer gemeinsamen Abszisse auftragen.
Insbesondere zu Letzterem habe ich in der Fachliteratur keine Antwort gefunden (oder sie nicht als solches erkannt).

Irgendwo steckt in meinem Verständnis und daher den Rechnungen jedoch ein Fehler, höchstwahrscheinlich zur Abszisse der Faltung, denn ich erhalte bis zu Abszissenwerten von 120 einen Ordinatenwert für die Faltung, obwohl die Einzelwahrscheinlichkeiten nur bis zu Abszissenwerten von 100 eintreten können (nachfolgendes Beispiel).

Wie kann ich derartige Wahrscheinlichkeits-Überlagerungen auf einer einheitlichen Abszisse darstellen?

Faktor 1: Komponentenversagen.
Annahme: 1% aller betrachteten Komponenten versagt innerhalb der ausgelegten Lebensdauer von n [Zyklen].
-> Gleichverteilete diskrete Dichtefunktion fp(i) = { 0.01/n auf i=[1:n], sonst 0 }

Faktor 2: Systemversagen kann nur eintreten, wenn parallel zum Komponentenversagen ein bestimmtes unabhängiges Event (an anderer Stelle im System) vorliegt, welches genau k-mal innerhalb der Lebensdauer n auftritt.
-> Gleichverteilte diskrete Dichtefunktion fq(i) = {k/n auf i=[1:n], sonst 0}

Faktor 3: Komponente wird vom System überwacht. Nach je x [Zyklen] prüft das System die Komponente und erkennt das Komponentenversagen. Wird Komponentenversagen erkannt ohne dass Faktor 2 vorlag, kann die Komponente ausgetauscht/repariert werden, ohne dass es zu Systemversagen kam.
Schlussfolgerung: Das System kann folglich nur versagen, wenn das Event aus Faktor 2 innerhalb des Intervalls von x Zyklen (zwischen zwei Prüfungen) liegt, in dem auch Faktor 2 stattfindet.
-> Diskrete Dichtefunktion fr(k) = {1/x für m= [beliebiger Startpunkt des Intervalls : Startpunkt + x]

Ich habe versucht das ganze mittels Faltung mit den Formeln von Wikipedia (Faltung_Stochastik) zu lösen, jedoch passt das Ergebnis nicht zu meiner Anschauung.

Trage ich die Ausfallwahrscheinlichkeiten für jeden Faktor und für die Faltung über den Zyklen auf, erwarte ich das Maximum der Faltung innerhalb eines Intervalls an Zyklen, für das alle Einzelfaktoren vorliegen (können).

Einfaches Beispiel
n sei 100, das Intervall aus Faktor 3 in dem die Faktoren 1 und 2 beide auftreten sei [10...20](vereinfachende Annahme). Dann erwarte ich das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems ebenfalls im Intervall [10...20], denn außerhalb sind die Faktoren 1 und 2 schließlich aufgrund der vereinfachenden Annahme = 0. Zudem erwarte ich, dass jeder Zyklus innerhalb des Intervalls dieselbe Wahrscheinlichkeit für den Systemausfall hat.

Falte ich nun (oder lasse SciLab das mit der Convol-Funktion tun) in einem ersten Schritt die Faktoren 2 und 3, zur Vereinfachung mit den folgenden Ordinatenwerten der Verteilungen
Faktor 2: fq(i) sei 1 für i=1:100
Faktor 3: fr(i) sei {1 für i = 10:20, sonst 0}

erhalte ich nun folgenden Graphen:
- einen Anstieg von Wert 0 auf 11 im Intervall 10:20,
- gefolgt von einem Plateau mit Wert 11 bis Zyklus 110,
- gefolgt von einem linearen Abfall zurück auf 0 bis Zyklus 120.

In SciLab sieht der Beispielcode so aus:
fp = ones(1,100)
fq = zeros(1,100);
fq(1,10:20)=1;
fpq = convol(fp,fq);
figure()
plot(fp,'r')
plot(fq,'b')
plot(fpq,'k')

13.04.2022, 12:27

HAL 9000

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Ich versuche immer noch das Modell zu verstehen:

1) Deiner Beschreibung bei Faktor 1 nach kommt innerhalb der Lebensdauer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur maximal EIN Ausfall vor? D.h., wenn dieser durch eine Kontrolle (Faktor 3) rechtzeitig erkannt und repariert wird, kann man sich bis zum Ende der Lebenszeit alle solchen Kontrollen sparen, weil garantiert kein Komponentenausfall danach noch kommt? verwirrt

2) Nehmen wir mal den einfachen Fall $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ an, d.h., Überprüfung zu JEDEM Zeitpunkt. Wenn ich dein Modell richtig verstehe, kommt ein Ausfall des Gesamtsystems dann nur in Frage, wenn just zum Ausfallzeitpunkt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ der Komponente (Faktor 1) auch gerade eines dieser $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Events (Faktor 2) eintritt, richtig? Da das mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$ da geschieht, hat man insgesamt hier die Ausfallwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 0.01\cdot \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$ .

3) Im Fall $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist es natürlich komplizierter. Betrachten wir mal den einfacheren Teilfall, dass $\begin{eqnarray*} x\mid n \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=xy \end{eqnarray*}$ . Dann betrachten wir das Zeitintervall $\begin{eqnarray*} [(j-1)x+1,jx] \end{eqnarray*}$ , in dem der Ausfallzeitpunkt $\begin{eqnarray*} m=(j-1)x+r \end{eqnarray*}$ liegt, mit auf $\begin{eqnarray*} 1\ldots x \end{eqnarray*}$ gleichverteiltem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Wenn nun von Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} jx \end{eqnarray*}$ (das sind genau $\begin{eqnarray*} x-r+1 \end{eqnarray*}$ Zeitpunkte) mindestens eines der k Events eintritt, dann haben wir einen Systemausfall. Mit $\begin{eqnarray*} s=x-r+1 \end{eqnarray*}$ folgt für die Gesamtwahrscheinlichkeit dann

$\begin{eqnarray*} \frac{0.01}{x}\cdot \sum_{s=1}^x \left(1-\frac{\binom{n-s}{k}}{\binom{n}{k}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} x\nmid n \end{eqnarray*}$ , dann stimmt das nicht ganz, weil wir ein "angebrochenes" Testintervall (d.h. ungleich Länge $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) kurz vor Ende der Lebenszeit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben. In dem Fall müsste das ganze mit $\begin{eqnarray*} n=xy+z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq z<x \end{eqnarray*}$ dann der Wahrscheinlichkeitswert

$\begin{eqnarray*} \frac{0.01}{n}\cdot \left[ y\sum_{s=1}^x \left(1-\frac{\binom{n-s}{k}}{\binom{n}{k}}\right) + \sum_{s=1}^z \left(1-\frac{\binom{n-s}{k}}{\binom{n}{k}}\right) \right] \end{eqnarray*}$

sein.

13.04.2022, 15:14

Bensen85

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Hi, Danke für die schnelle und ausführliche Antwort!

Zitat:

Original von HAL 9000
1) Deiner Beschreibung bei Faktor 1 nach kommt innerhalb der Lebensdauer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur maximal EIN Ausfall vor? D.h., wenn dieser durch eine Kontrolle (Faktor 3) rechtzeitig erkannt und repariert wird, kann man sich bis zum Ende der Lebenszeit alle solchen Kontrollen sparen, weil garantiert kein Komponentenausfall danach noch kommt? verwirrt

Guter Hinweis, ich versuche es präziser zu beschreiben.

Gegeben sei ein System, in dem eine bestimmte Komponente genau einmal vorkommt.
Von 100 eingesetzten Komponenten ist zu erwarten, dass eine innerhalb der Lebensdauer von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zyklen ausfällt (das war der untenstehende Faktor 1)
Der Ausfall der Komponente ist ein irreversibler Wechsel der Komponente vom initialen Zustand "intakt" in den Zustand "defekt". (das war die fehlende Information)
Es ist zu erwarten, dass das System die Funktion der Komponente innerhalb der Lebensdauer von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zyklen in genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Zyklen benötigt (das war der untenstehende Faktor 2)
Das System kann den Zustand der Komponente in jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -ten Zyklus erkennen.
Erkennt das System eine defekte Komponente wird das gesamte System durch ein neues ausgetauscht.

Sind die folgenden Bedingungen in einem Zyklus erfüllt fällt das System aus:

Das System trägt eine Komponente in sich, die einen Zustandswechsel vollziehen wird
Der Zustandswechsel hat bereits stattgefunden oder findet in diesem Zyklus statt
Der Zustandswechsel wurde nicht bereits in einem vorherigen Zyklus durch das System erkannt.
Das System benötigt in diesem Zyklus die Funktion der Komponente

Zitat:

Original von HAL 9000
Betrachten wir mal den einfacheren Teilfall, dass $\begin{eqnarray*} x\mid n \end{eqnarray*}$ , d.h. es existiert eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=xy \end{eqnarray*}$ .

Die Betrachtung dieses einfacheren Teilfalls ist völlig hinreichend. Ich muss erst einmal die Formel verstehen verwirrt

13.04.2022, 15:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bensen85
[*]Gegeben sei ein System, in dem eine bestimmte Komponente genau einmal vorkommt.
[*]Von 100 eingesetzten Komponenten ist zu erwarten, dass eine innerhalb der Lebensdauer von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zyklen ausfällt (das war der untenstehende Faktor 1)

Es wäre schön, wenn du klar und deutlich präzisierst. Meinst du vielleicht folgendes:

- Die Anzahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ der Komponenten ist bekannt (z.B. eben $\begin{eqnarray*} c=100 \end{eqnarray*}$ , oder aber irgendeine andere Anzahl).
- Jede einzelne Komponente fällt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aus (z.B. eben $\begin{eqnarray*} p=0.01 \end{eqnarray*}$ ), welche sich auf die Zeitpunkte 1..n gleichmäßig aufteilt.
- Die Ausfälle der Komponenten geschehen unabhängig voneinander.

Von einer Anzahl der Komponenten war im Ursprungsbeitrag nämlich überhaupt noch keine Rede - die wäre aber wichtig für das Gesamtsystem! Die Information, dass jede hunderstste ausfällt reicht doch allein nicht - es macht doch einen Unterschied, ob das am Ende 100 oder 1000000 Komponenten betrifft!!!

Ich hatte oben der verwirrenden Beschreibung nach einfach angenommen, dass mit Wahrscheinlichkeit 1% irgendeine Komponente in diesem Zeitraum mal ausfällt, und dann aber nur die eine - das ist natürlich ganz was anderes.

14.04.2022, 08:23

Bensen85

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es wäre schön, wenn du klar und deutlich präzisierst.

Danke für deine Geduld! Ich geb mein Bestes...

Zitat:

Original von HAL 9000
Meinst du vielleicht folgendes:
- Die Anzahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ der Komponenten ist bekannt (z.B. eben $\begin{eqnarray*} c=100 \end{eqnarray*}$ , oder aber irgendeine andere Anzahl).

Die Anzahl an produzierten Systemen sei $\begin{eqnarray*} d = 10^4 \end{eqnarray*}$ .
Die Anzahl an verbauten Komponenten pro System sei $\begin{eqnarray*} c_s = 1 \end{eqnarray*}$ .
Die Anzahl insgesamt produzierter Komponenten resultiert zu $\begin{eqnarray*} c = c_s * d = 10^4 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von HAL 9000
Jede einzelne Komponente fällt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aus (z.B. eben $\begin{eqnarray*} p=0.01 \end{eqnarray*}$ ), welche sich auf die Zeitpunkte 1..n gleichmäßig aufteilt.

Ja, das meinte ich.

Zitat:

Original von HAL 9000
- Die Ausfälle der Komponenten geschehen unabhängig voneinander.

Ja, das meinte ich.

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich hatte oben der verwirrenden Beschreibung nach einfach angenommen, dass mit Wahrscheinlichkeit 1% irgendeine Komponente in diesem Zeitraum mal ausfällt, und dann aber nur die eine - das ist natürlich ganz was anderes.

Pro System wird genau eine Komponente verbaut.
Würden beliebig viele identische Systeme aufgebaut würde in 1% aller Systeme die verbaute Komponente innerhalb der Lebensdauer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausfallen.
Alle Komponenten können voneinander unabhängig mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit von 1% ausfallen. Es muss nicht exakt eine Komponente ausfallen. Unter 100 verbauten Komponenten könnten daher zwischen 0...100 ausfallende Komponenten sein.

Zitat:

Original von HAL 9000
es macht doch einen Unterschied, ob das am Ende 100 oder 1000000 Komponenten betrifft

Wenn in einem System mehr als eine Komponente verbaut wäre würde ich das verstehen, aber da pro System genau eine Komponente verbaut ist verstehe ich es nicht.

14.04.2022, 12:26

Bensen85

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Sehe ich das vielleicht auch zu kompliziert?

Für eine System das ausfällt müssen folgende Wahrscheinlichkeiten zusammenkommen:

Die Komponente fällt innerhalb Lebensdauer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus -> $\begin{eqnarray*} p_1 = \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$
Der Zyklus des Ausfalls und der Zyklus von mindestens einem von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Events liegen im gleichen Intervall zwischen zwei Prüfungen der Komponente -> $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$
Für Intervallbreiten $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ findet der Ausfall der Komponente vor mindestens einem Event innerhalb des Intervalls oder gleichzeitig zu einem Event statt -> $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$

Die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems ist dann $\begin{eqnarray*} p_G = p_1 * p_2 * p_3 \end{eqnarray*}$ .

Die Lebensdauer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ besteht aus $\begin{eqnarray*} n_i = \frac{n}{x} \end{eqnarray*}$ aufeinander folgenden Intervallen der Breite $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Der Ausfall der Komponente findet im $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ -ten Intervall statt.

Festlegung: Es gelte $\begin{eqnarray*} x >= k+1 \end{eqnarray*}$ , d.h.

alle Events könnten im selben Intervall $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ liegen in dem der Ausfall stattfindet und
selbst dann könnte der Ausfall innerhalb von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach allen Events auftreten

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Events im Intervall $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ eintreten folgt aus $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -maligem Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ verschiedenen Kugeln, wovon genau eine das Intervall $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ repräsentiert.

-> $\begin{eqnarray*} p_2 = \frac{k}{n_i} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausfall vor mindestens einem oder gleichzeitig mit dem letzten Event innerhalb $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auftreten:

Einfacher Fall: $\begin{eqnarray*} k = 1 \end{eqnarray*}$
Event auf Zyklus 1 von x, Ausfall müsste auf Zyklus 1 liegen, Wahrscheinlichkeit: 1/x
Event auf Zyklus 2 von x, Ausfall müsste auf Z. 1 oder 2 liegen, p = 2/x
Event auf Zyklus x von x, Ausfall müsste auf 1...x liegen, p = x/x = 1
Event für jeden Zyklus innerhalb $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ gleich wahrscheinlich mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

-> $\begin{eqnarray*} p_3einfach = \sum\limits_{i=1}^{x} \frac{1}{x} \frac{i}{x} = \frac{1}{x^{2}} \sum\limits_{i=1}^{x} i \end{eqnarray*}$

Nun mit $\begin{eqnarray*} k >= 1 \end{eqnarray*}$ und unbekannter Anzahl, wieviele der $\begin{eqnarray*} k >= 1 \end{eqnarray*}$ Events innerhalb $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ liegen, hier muss ich mal kurz absetzen und Mittagessen...
$\begin{eqnarray*} p_3 = \sum\limits_{i=1}^{k} Warscheinlichkeit für k Events in v * Wahrscheinlichkeit, dass Ausfall vor/gleich min. letztem Event \end{eqnarray*}$

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