Bestimmte Integrale (7)

13.04.2022, 12:32

Benutzer121

Bestimmte Integrale (7)

Meine Frage:
Hallo die Aufgabe heißt: Berechne zu den o. g. Integralen die absolute(=echte) Fläche für $\begin{eqnarray*} 2\leq x\leq 5; \int_{}^{} \! x \, dx;\int_{}^{} \!2x^{3} \, dx;\int_{}^{} \! 3x^{3} -4x \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hab den Aufgabentyp noch nicht richtig gerechnet

13.04.2022, 12:42

Steffen Bühler

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RE: Bestimmte Integrale

Zitat:

Original von Benutzer121
Hab den Aufgabentyp noch nicht richtig gerechnet

Dann fang doch mal an. $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{5} \! x \, dx = \dots \end{eqnarray*}$

13.04.2022, 12:43

HAL 9000

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Mit absoluter (echter) Fläche meinst du vermutlich, dass statt $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b \left|f(x)\right| ~ \dd x \end{eqnarray*}$ bestimmt werden soll? Macht im vorliegenden Fall keinen Unterschied, da alle drei Integranden für $\begin{eqnarray*} 2\leq x\leq 5 \end{eqnarray*}$ strikt positiv sind, und somit die Betragsstriche entfallen - beim letzten Term sieht man das aufgrund von $\begin{eqnarray*} 3x^3-4x = x\left(3x^2-4\right)\geq 2\cdot 8 > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

20.04.2022, 18:10

Benutzer121

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Ist das so richtig?

20.04.2022, 20:44

Steffen Bühler

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RE: Bestimmte Integrale
Nein. Es geht um $\begin{eqnarray*} 2\leq x\leq 5 \end{eqnarray*}$ , da haben andere x-Werte nichts zu suchen.

21.04.2022, 09:23

HAL 9000

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Ist wirklich seltsam, was in deinem Kopf vorgeht: Da steht klar und deutlich $\begin{eqnarray*} 2\leq x\leq 5 \end{eqnarray*}$ , und du berechnest Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2 \end{eqnarray*}$ und addierst das zu $\begin{eqnarray*} \int\limits_2^5 \end{eqnarray*}$ , d.h. bekommst als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^5 \end{eqnarray*}$ ... warum? verwirrt

Nur $\begin{eqnarray*} I_2 = \int\limits_2^5 x ~ \dd x = 10.5 \end{eqnarray*}$ war gesucht. Genauso jetzt bei den anderen Integranden.

16.08.2022, 18:05

Benutzer121

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RE: Bestimmte Integrale
Wo ist der Fehler bei Römisch 3 a)?

16.08.2022, 18:12

Steffen Bühler

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RE: Bestimmte Integrale
Du hast nicht die absolute Fläche berechnet, positive und negative Fläche addieren sich daher zu Null:

16.08.2022, 18:16

HAL 9000

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Steht auch oben hier im Thread als Anmerkung, aber nach dem langen Dornröschenschlaf blickt man da wohl nicht mehr zurück...

16.08.2022, 18:27

Benutzer121

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Wie geht das dann?

16.08.2022, 19:12

HAL 9000

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Sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

1) Ist $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , so gilt dort $\begin{eqnarray*} |f(x)|=f(x) \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b |f(x)| ~ \dd x = \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

2) Ist $\begin{eqnarray*} f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , so gilt dort $\begin{eqnarray*} |f(x)|=-f(x) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b |f(x)| ~ \dd x = -\int\limits_a^b f(x) ~ \dd x = -F(b)+F(a) \end{eqnarray*}$ .

3) Besteht das Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ aus Teilintervallen mit wechselnden Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , so ist das Integrationsgebiet entsprechend aufzuteilen - salopp kann man sagen "man hangelt sich von Nullstelle zu Nullstelle".

Im Beispiel hier: Die Skizze von Steffen zeigt es, aber man bekommt es auch per Nullstellenuntersuchung der Integrandenfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=3x^2-12x=3x(x-4) \end{eqnarray*}$ heraus:

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in [0,4] \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in [4,6] \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt gemäß obiger Betrachtungen für die gesuchte absolute Fläche

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^6 |f(x)| ~ \dd x \stackrel{3)}{=} \int\limits_0^4 |f(x)| ~ \dd x + \int\limits_4^6 |f(x)| ~ \dd x \stackrel{1)2)}{=} -\int\limits_0^4 f(x) ~ \dd x + \int\limits_4^6 f(x) ~ \dd x = -F(4)+F(0)+F(6)-F(4) \end{eqnarray*}$

mit Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = x^3-6x^2 \end{eqnarray*}$ (die du in deinem Scan ja schon mal bestimmt hattest).

17.08.2022, 11:43

Benutzer121

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Also ungefähr so anfangen: f(x)=(3x^2)-(12x) Nullstellen: x1=4 v x2=0?

17.08.2022, 12:38

HAL 9000

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Richtig.

17.08.2022, 12:45

Benutzer121

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Und wie geht es weiter?

17.08.2022, 12:48

HAL 9000

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Steht alles schon da. (Du hast deinen Stil anscheinend nicht geändert - lies bitte auch, was da geschrieben steht, statt nach jedem winzigen Teilschritt zu fragen, wie es denn weiter geht.)

17.08.2022, 13:23

Benutzer121

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Hier:

17.08.2022, 13:30

HAL 9000

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Ja, stimmt - na geht doch. Übrigens, wenn du einmal die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \int \left(3x^2-12x\right) ~ \dd x = x^3-6x^2 \end{eqnarray*}$ berechnest hast, dann muss du nicht jedes mal bei deren Anwendung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot 3\cdot x^3 \end{eqnarray*}$ für die diversen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hinschreiben, sondern kannst es auch bei dem vorberechneten $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ohne diese Vorfaktoren $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ belassen. Vielleicht ist es ja Handmuskeltraining beim Schreiben, dann will ich nichts gesagt haben. Augenzwinkern

17.08.2022, 13:50

Benutzer121

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Ich hab versucht die römisch vier zu lösen. Ist das richtig?

17.08.2022, 14:32

Steffen Bühler

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Nein, auch hier nimmt die Funktion innerhalb der Integralgrenzen negative Werte an:

Du musst also auch hier abschnittsweise integrieren und jeweils den Betrag nehmen.

17.08.2022, 14:33

HAL 9000

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IV bitte GANZ genau lesen: Dort steht nicht "berechne das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^5 x^4-7x^2-6x ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ", sondern "berechne ZU dem Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^5 x^4-7x^2-6x ~ \dd x \end{eqnarray*}$ die ABSOLUTE Fläche". Zugegeben etwas verklausuliert formuliert, aber auch hier meinen die Aufgabensteller dann die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^5 \left|x^4-7x^2-6x\right| ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

D.h., auch hier solltest du wieder wie eben vorgehen: Nullstellen bestimmen, und dann die Integrale zwischen aufeinander folgenden Nullstellen nach und nach durchgehen...

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