Lagebeziehung Gerade zu Ebene

13.04.2022, 16:11

Malte7243

Lagebeziehung Gerade zu Ebene

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich muss bzw. möchte folgende Aufgabe für die Prüfungsvorbereitung lösen und verstehe um ehrlich zu sein nur Bahnhof. Mir kann keiner helfen, daher möchte ich mich an die Community hier wenden und fragen, welchen Ansatz ich wählen muss... (Aufgabe siehe Anhang)

[attach]54973[/attach]

Meine Ideen:
Mein Gedanke war, für x1, x2 und x3 die Werte aus dem Ortsvektor von g einzusetzen und dann danach aufzulösen. Da komme ich dann auf a = -3. Ist das richtig und wie muss ich dann weiter verfahren?
Ich würde die -3 für das a einsetzen, bin mir aber unsicher?
Genauso kann die Lösung a = -3 auch falsch sein. Nur stellt sich da dann die Frage, was hier richtig wäre...

Edit (mY+): 4 von 5 (!) gleichen Dateien entfernt.

13.04.2022, 19:50

Huggy

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RE: Beziehung zwischen Lage und Ebene in Abhängigkeit
Es gibt 3 mögliche Lagen der Geraden relativ zu der Ebene:

1) Die Gerade ist nicht parallel zur Ebene. Dann schneidet die Gerade die Ebene in genau einem Punkt.
2) Die Gerade ist parallel zu der Ebene, liegt aber nicht innerhalb der Ebene. Dann haben Gerade und Ebene keinen gemeinsamen Punkt.
3) Die Gerade ist parallel zu der Ebene und liegt innerhalb der Ebene. Dann ist jeder Punkt der Geraden auch ein Punkt der Ebene.

Im Fall 2) oder 3) müssen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht aufeinander stehen. Du solltest daher zunächst mal prüfen, ob und für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ das der Fall ist. Im Fall 3) muss dann der Stützvektor der Geraden in der Ebene liegen.

14.04.2022, 05:22

Ulrich Ruhnau

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RE: Beziehung zwischen Lage und Ebene in Abhängigkeit

Zitat:

Original von Malte7243
Meine Frage:
Ich würde die -3 für das a einsetzen, bin mir aber unsicher?
Genauso kann die Lösung a = -3 auch falsch sein. Nur stellt sich da dann die Frage, was hier richtig wäre...

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann irgend einen Wert annehmen. Meine Vorgehensweise wäre es, die Ebenengleichung

$\begin{eqnarray*} E_a : (1+a)x_1+ax_2-(a-2)x_3-a=0; a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

als Skalarprodukt aufzuschreiben.

$\begin{eqnarray*} \left(1+a,a,2-a\right) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=a <br /> \text{bzw.}<br /> \big((1,0,2)+a(1,1,-1)\big) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=a \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft es, diesen Ausdruck mit der Geradengleichung zu vergleichen.

$\begin{eqnarray*} g : \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ; \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \vec x \end{eqnarray*}$ könnte man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen und schauen, was passiert.

Aus $\begin{eqnarray*} \big((1,0,2)+a(1,1,-1)\big) \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) =a \end{eqnarray*}$ wird dann

$\begin{eqnarray*} \big((1,0,2)+a(1,1,-1)\big) \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) =a <br /> \<br /> -1+\lambda+2a-2a\lambda=a \end{eqnarray*}$

Das müßte man vielleicht nur zuende rechnen, um zu bestimmen, welche von Huggy aufgestellten Fälle gültig sind. Also für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt die letzte Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , nur für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ oder für kein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

14.04.2022, 07:22

Huggy

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RE: Beziehung zwischen Lage und Ebene in Abhängigkeit

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Wegen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \vec x \end{eqnarray*}$ könnte man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen und schauen, was passiert.

Das kann man natürlich machen. Aber da sowohl der Normalenvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ als auch der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ der Geraden ohne Rechnung aus den gegebenen Gleichungen ablesbar sind, ist es doch einfacher zu prüfen, wann

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec u=0 \end{eqnarray*}$

gilt.

14.04.2022, 09:52

geofan

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Zitat:

Da komme ich dann auf a = -3. Ist das richtig und wie muss ich dann weiter verfahren?

Nein, das ist falsch.

Zitat:

Im Fall 3) muss dann der Stützvektor der Geraden in der Ebene liegen.

Vektoren sind ortsunabhängig, daher würde ich hier Stützpunkt schreiben (hier zeigt der Stützvektor vom Ursprung aus auf einen Ebenenpunkt), wobei potentiell natürlich jeder Geradenpunkt zum Einsetzen in die Ebenengleichung in Frage kommt.

Je nach dem wie fit man bei Termumformungen ist, geht es auch relativ schnell, wenn man den allgemeinen Geradenpunkt $\begin{eqnarray*} G(1-\lambda|\lambda|\lambda-1) \end{eqnarray*}$ in die Ebenensschar einsetzt und die entstehende Gleichung auf die Form $\begin{eqnarray*} p(a) \cdot \lambda =q(a) \end{eqnarray*}$ bringt (das Umschreiben der Ebenenschar in ein Skalarprodukt halte ich für unnötigen Aufwand).

p(a) und q(a) sind dann Terme, die ggf. von a abhängen.

14.04.2022, 21:24

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von geofan
Je nach dem wie fit man bei Termumformungen ist, geht es auch relativ schnell, wenn man den allgemeinen Geradenpunkt $\begin{eqnarray*} G(1-\lambda|\lambda|\lambda-1) \end{eqnarray*}$ in die Ebenensschar einsetzt und die entstehende Gleichung auf die Form $\begin{eqnarray*} p(a) \cdot \lambda =q(a) \end{eqnarray*}$ bringt (das Umschreiben der Ebenenschar in ein Skalarprodukt halte ich für unnötigen Aufwand).

@geofan
Jetzt habe ich weder Huggy widersprochen noch er mir, abgesehen von seiner Bemerkung zum Aufwand. Ich habe die Sache doch gerechnet. Jetzt bestimme Du - nur noch, für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ jeweils wie viele $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ möglich sind! Dann kannst Du weiter nach Huggys Fallunterscheidung vorgehen. Das ist alles, was hier zu machen ist!

Außerdem haben wir keinen Geradenpunkt, sondern eine Gerade.
Und wir haben nur eine Ebene und keine Schar von Ebenen.

14.04.2022, 21:49

Mathema

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(1) Geofan ist nicht der Threadersteller. Das sollte man vll merken, wenn man hier was schreibt.

(2) Es war hier schon unnötig nach Huggys Beitrag überhaupt was zu schreiben. Beachte dazu unser Boardprinzip (welches du eigentlich kennen solltest).

(3)

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Außerdem haben wir keinen Geradenpunkt, sondern eine Gerade.
Und wir haben nur eine Ebene und keine Schar von Ebenen.

Mehr fällt mir dazu nicht ein.

14.04.2022, 23:23

Leopold

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Zitat:

Original von Mathema

unglücklich

Mehr fällt mir dazu nicht ein.

Nimm's mit Humor. Er ist schon ein sonderbarer Kauz.

15.04.2022, 09:25

Huggy

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Da offenbar mal wieder ein Fragesteller "verstorben" ist, schiebe ich die Lösung noch nach. Aus den gegebenen Gleichungen liest man für den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ der Ebene und den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ der Geraden ab:

$\begin{eqnarray*} \vec n =\begin{pmatrix} 1+a \\ a \\ -(a-2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec u =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec u=0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ liegt also der Fall 2) oder 3) vor, bei $\begin{eqnarray*} a \neq 1 \end{eqnarray*}$ der Fall 1). Setzt man $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und den Stützvektor

$\begin{eqnarray*} \vec p =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Geraden in die Ebenengleichung ein, sieht man, dass sie erfüllt ist. Daher liegt bei $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ der Fall 3) vor.

Die Bestimmung des Schnittpunktes $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zwischen Gerade und Ebene im Fall 1) ist in der Aufgabe nicht gefordert, bereitet aber keine Probleme. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} S=(0, 1, 0) \end{eqnarray*}$

und zwar unabhängig von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, alle Ebenen der durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ parametrisierten Ebenenschar gehen durch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

15.04.2022, 09:44

geofan

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Dann schieb ich den korrekten Weg über das Einsetzen von $\begin{eqnarray*} G(1-\lambda|\lambda|\lambda-1) \end{eqnarray*}$ in die Ebenenschar auch noch nach, denn die letzte Gleichung von Ulrich Ruhnau ist nicht ganz korrekt:

$\begin{eqnarray*} (1+a)(1-\lambda)+a\lambda - (a-2)(\lambda-1)=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (-1-a+a-a+2) = a-1-a-a+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-a) \cdot \lambda = 1-a \end{eqnarray*}$

Für a=1 hat die Gleichung unendlich viele Lösungen, Ebene und Gerade haben damit unendlich viele gemeinsame Punkte, wodurch g in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ liegen muss.

Für $\begin{eqnarray*} a \neq 1 \end{eqnarray*}$ lässt sich die Gleichung ungestraft durch (1-a) dividieren, wodurch es genau eine Lösung und damit genau einen gemeinsamen Punkt von g mit der entsprechenden Ebene gibt.
An dieser Gleichung sieht man auch direkt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ und damit G(0|1|0) als Schnittpunkt folgt.

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