Stetig fortsetzbar

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maths4u Auf diesen Beitrag antworten »
Stetig fortsetzbar
Hallo zusammen!

Ich soll hier überprüfen, ob folgende Funktionen im Punkt x0 stetig fortsetzbar sind.
In der VO haben wir die Stetigkeit überprüft, indem wir für x —> Epsilon - eine Zahl eingesetzt haben. Ich hab das gleiche Prinzip hier angewendet, aber richtig kommt mir mein Ansatz nicht. Außerdem haben mich die Polynome verwirrt, vor allem Polynom vierten Grades. Ich muss das ganze vereinfachen, aber wie genau soll das hier funktionieren? Könnt ihr mir weiterhelfen oder habt ihr Vorschläge für mich?

Edit: Ist das bild überhaupt leserlich? Sonst lade ich´s erneut hoch.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetig fortsetzbar? Überprüfe!
Wenn du setzt, ist der Grenzübergang zu betrachten. Multipliziert man Zähler und Nenner aus, zeigt sich, dass man in Zähler und Nenner ausklammern kann, welches sich dann wegkürzt. Danach ist der Grenzwert für leicht ablesbar.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du die Definition einsetzt, solltest du überlegen was passiert. Was würde denn passieren, wenn einfach stumpf einsetzt? Wenn das ein sinniger Ausdruck ist, ist die Chance gut, dass das der Grenzwert ist. Bei solch ganzrationalen Funktion sogar garantiert.

In dem Fall bekommt man 0/0, d.h. sowohl im Zähler als im Nenner gibt es den Faktor wenigstens einmal. Sobald man diesen rauskürzt, wird die Sache hoffentlich klarer.

Kurzum: Polynomdivision führt hier zu einem schöneren Ausdruck mit dem man mehr anfangen kann. Was du natürlich auch machen kannst: alles unten ausmultiplizieren und am Ende die rauskürzen. Ich denke das ist aber mehr Aufwand.

Bei deinen Screenshot müsste links unten stehen. An der Stelle hast du gar kein mehr.
maths4u Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt also, dass die Funktion stetig fortsetzbar ist, da die Grenzwerte 1/9 übereinstimmen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du dich irgendwo verrechnet. Ich komme auf



Der Grenzwert ist also . Es ist hier nicht notwendig, den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert getrennt zu betrachten.
maths4u Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast alles ausmultipliziert, oder?
Ich hab das nicht ausmultipliziert, sondern vereinfacht und gekürzt. Wo genau habe ich einen Fehler eingebaut?

Edit: Ich muss ja auch noch überprüfen, ob die stetig fortsetzbar sind. Wie mach´ ich das? Ich hab für x=-1 eingesetzt und geschaut was rauskommt, in dem Fall haben wir 0/0. Was heißt das jetzt bezogen auf die Stetigkeit?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maths4u
Du hast alles ausmultipliziert, oder?

Ja.

Zitat:
Ich hab das nicht ausmultipliziert, sondern vereinfacht und gekürzt. Wo genau habe ich einen Fehler eingebaut?

Den Fehler solltest du eigentlich selber suchen. Ich verweise mal auf den beliebten Spruch: Aus Summen kürzen nur die Dummen.

Zitat:
Edit: Ich muss ja auch noch überprüfen, ob die stetig fortsetzbar sind. Wie mach´ ich das? Ich hab für x=-1 eingesetzt und geschaut was rauskommt, in dem Fall haben wir 0/0. Was heißt das jetzt bezogen auf die Stetigkeit?

Da ist nichts zu machen. Wenn der Grenzwert existiert, ist die Funktion stetig fortsetzbar indem man ihr an der undefinerten Stelle den Grenzwert als Funktionswert gibt.
maths4u Auf diesen Beitrag antworten »

Huggy, im Nachhinein habe ich meinen Fehler entdeckt LOL Hammer

Aber das mit dem Grenzwert versteh‘ ich noch nicht: zu Beginn habe ich ja -1 in die Funktion eingesetzt und als Ergebnis kam eine 0. Was sagt eigentlich der 0er aus?
Ich weiß zwar, dass, die Funktion nicht stetig fortsetzbar ist, wenn der Nenner 0 ist und der Zähler nicht, Aber wie ist das mit 0/0 oder 0/4 ? Oder muss ich generell überprüfen, ob der Grenzwert existiert? Wenn ja dann spielen doch die rechts und linksseitigen Grenzwerte eine Rolle, oder ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist bei bzw. nicht definiert. Sie ist an der nicht definierten Stelle stetig fortsetzbar, wenn man ihr dort einen Funktionswert geben kann, so dass die neue Funktion dort stetig. Die neue Funktion ist dort stetig, wenn ihr Grenzwert an der Stelle existiert und mit dem Funktionswert identisch ist. Der Grenzwert existiert, wie du gezeigt hast. Wenn man der neuen Funktion nun an der Stelle den Grenzwert als Funktionswert gibt, ist die neue Funktion an der Stelle gemäß Definition stetig. Damit ist die ursprüngliche Funktion dort stetig fortsetzbar.
maths4u Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Erklärung! Soweit verständlich, kann aber sein, dass beim Üben noch weitere Fragen auftauchen. Dann melde ich mich hier wieder.

Grüße
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