Projektion

16.04.2022, 11:07

prime

Projektion

Meine Frage:
Hallo

Der Vektor a soll im komplexen Raum auf den Vektor b projiziert werden
Es geht um die Reihenfolge beim Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} P_{b} (a)=\left<b, a \right> b \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} P_{b} (a)=\left<a, b \right> b \end{eqnarray*}$

Welche Reihenfolge stimmt?

Danke im voraus

Meine Ideen:
Ich glaube es ist
$\begin{eqnarray*} P_{b} (a)=\left<b, a \right> b \end{eqnarray*}$

16.04.2022, 13:01

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Projektion
Die Projektion ist eine lineare Abbildung. Reicht dir das schon?

16.04.2022, 13:55

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von URL
Die Projektion ist eine lineare Abbildung. Reicht dir das schon?

Das wusste ich schon

Beim Skalarprodukt gilt doch
$\begin{eqnarray*} \left<a, b \right> = \left<b, a \right>^* \end{eqnarray*}$

Das heißt man muss bei der Projektion im komplexen Vektorraum die Reihenfolge beachten

16.04.2022, 14:24

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Projektion
Ich denke nicht, dass es eine fixe Antwort gibt.

Wenn man das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle a,b \rangle = a^* \cdot b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \langle a,b \rangle = a \cdot b^* \end{eqnarray*}$ vertauscht, entspricht es einer anderen Wahl von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ in deinem Beispiel. D.h. bevor man sich überlegt was "besser" ist, muss man sich auf auf ein Skalarprodukt einigen.

Und dann weiß ich nicht was zu bevorzugen ist. Nehmen wir mal das erste Skalarprodukt in einer Dimension und $\begin{eqnarray*} a = 1,\; b=i \end{eqnarray*}$ . Dann ist bei dir das erste $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} P_b(a) = \langle b,a \rangle b = \langle i,1 \rangle i = -i \cdot 1 \cdot i = 1 \end{eqnarray*}$ .
Und beim zweiten
$\begin{eqnarray*} P_b(a) = \langle a,b \rangle b = \langle 1,i \rangle i = 1 \cdot i \cdot i = -1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich mir die komplexe Ebene vorstelle, sind beide Antworten gleich plausibel.

16.04.2022, 15:11

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal angenommen man hat im C^2 eine Orthonormalbasis v1,v2

Dann kann man für den Vektor a schreiben

$\begin{eqnarray*} a=c_1v_1+c_2v_2 \end{eqnarray*}$

und das c1 bekommt man mit
$\begin{eqnarray*} c_1= \left<v_1, a \right> \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} c_1= \left<a, v_1 \right> \end{eqnarray*}$

Spielt da die Reihenfolge keine Rolle?

16.04.2022, 15:12

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Projektion
Wie IfindU schon angedeutet hat, kommt es darauf an, wie ihr das Skalarprodukt definiert habt. Damit die Projektion Pb(a) linear von a abhängt, muss a in der linearen Komponente des Skalarproduktes stehen und nicht in semilineraren.

16.04.2022, 15:47

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten

Beim Skalarprodukt würde ich so rechnen
$\begin{eqnarray*} \langle a,b \rangle = a^* \cdot b \end{eqnarray*}$

Wenn man bei gegbenen v1 und v2 diesen Ausdruck hat
$\begin{eqnarray*} a=c_1v_1+c_2v_2 \end{eqnarray*}$
dann sind c1 und c2 doch eindeutig. Oder hängen die von der Definition des Skalarprodukts ab?

16.04.2022, 16:04

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ sind eindeutig, wenn $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ eine Basis ist, dafür braucht es kein Skalarprodukt.
Mit $\begin{eqnarray*} \langle a,b\rangle=a^*b \end{eqnarray*}$ ist in meiner Welt
$\begin{eqnarray*} P_b(a)=\langle b, a\rangle b \end{eqnarray*}$

Und in deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} <a,v_1>=<c_1v_1+c_2v_2,v_1>=c_1^*<v_1,v_1>+c_2^*<v_2,v_1>=c_1^* \end{eqnarray*}$ während
$\begin{eqnarray*} <v_1,a>=<v_1,c_1v_1+c_2v_2>=c_1<v_1,v_1>+c_2<v_1,v_2>=c_1 \end{eqnarray*}$
wie es sein muss

16.04.2022, 16:28

prime

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
Ich werde mir das Ganze nochmal genau anschauen

Neue Frage »

Antworten »

Projektion

Verwandte Themen