lineare PDGL erster Ordnung

17.04.2022, 12:27	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare PDGL erster Ordnung Meine Frage: Hi, ich soll die folgenden beiden DGLs lösen: 1. $\begin{eqnarray} x\frac{\partial u}{\partial x} -2y\frac{\partial u}{\partial y }-z\frac{\partial u}{\partial z}=0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} (x_3x_4-x_1x_2^2)\frac{\partial u}{\partial x_1} +x_2x_3\frac{\partial u}{\partial x_2 }+x_3^2\frac{\partial u}{\partial x_3}+x_3x_4\frac{\partial u}{\partial x_4}=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu 1.: In der Vorlesung hatten wir hergeleitet, dass $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ die DGL genau dann löst, wenn $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ein erstes Integral des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} a(x,y,z)=(x,-2y,-z) \end{eqnarray}$ und, dass man zu jedem Vektorfeld einen Diffeomorphismus $\begin{eqnarray} \Phi:\Omega_0\to\Omega'_0 \end{eqnarray}$ finden kann, so dass $\begin{eqnarray} \Phi_{}a=(1,0,0) \end{eqnarray}$ gilt. Daraus würde dann folgen, dass zum Beispiel $\begin{eqnarray} U_2\circ \Phi \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} U_3\circ\Phi \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} U_2,U_3 \end{eqnarray*}$ die Projektion auf die zweite bzw. dritte Koordinate ist, die DGL lösen. Leider haben wir in der Vorlesung noch kein Beispiel gemacht, wie man das Vektorfeld rektifizieren kann. Außerdem verstehe ich nicht, wie man so auf eine allgemeine Lösung des Problems kommen soll. Zu 2. habe ich leider noch überhaupt keinen Ansatz. Hat jemand Ideen? Danke schon mal im Voraus.
18.04.2022, 12:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare PDGL erster Ordnung Ich bin auch kein Experte was explizite Differentialgleichungen betreffen. Du kannst für das Vektorfeld $\begin{eqnarray} a(x,y,z) = (x, -2y, -z) \end{eqnarray}$ leicht ein Potential finden. Integrierst du die erste Komponente bekommst du $\begin{eqnarray} u(x,y,z) = \frac 1 2 x^2 + c_1(y,z) \end{eqnarray}$ mit einer Konstante, die nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt, potentiell aber von $\begin{eqnarray} y,z \end{eqnarray}$ . Jetzt muss $\begin{eqnarray} \partial_y c_1(y,z) = -2y \end{eqnarray}$ gelten. Integriert man nun nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ bekommt man $\begin{eqnarray} c_1(y,z) = -y^2 + c_2(z) \end{eqnarray}$ . Und jetzt muss gelten $\begin{eqnarray} c_2'(z) = -z \end{eqnarray}$ . So bekommt man also ein Potentialfeld gegeben. Kannst du bei der zweiten nicht aus den "Trick" benutzen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »