Matrixpotenz als Linearkombination

17.04.2022, 14:17	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixpotenz als Linearkombination Hallo Wir haben ein Charakteristisches Polynom zu einer Matrix A gegeben, nämlich $\begin{eqnarray} p_A=x^3-3x^2+x-2 \end{eqnarray}$ Mit Cayley-Hamilton habe ich jetzt das Inverse bestimmt nämlich $\begin{eqnarray} 0=A^3-3A^2+A-2A^0\Rightarrow 2id=A^3-3A^2+A\Rightarrow id=\frac{1}{2}\cdot(A^3-3A^2+A)=A\cdot \frac{1}{2}\cdot(A^2-3A+A^0)\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot(A^2-3A+id) \end{eqnarray}$ Jetzt sollen wir A^5 von A^2 , A^1 und A^0 darstellen. Mein erster Impuls war einfach mal A^5 zu rechnen, aber dann klappt das mit den Linearfaktoren ja nicht (A^2)^5 wäre ja nichtmehr linear. Wie kann ich also sonst vorgehen?
17.04.2022, 14:46	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal, die folgende Vorgehensweise auf 3×3 zu übertragen. Für eine 2×2-Matrix ist Cayley-Hamilton von der Gestalt $\begin{eqnarray} A^2 -\mathrm{tr}(A)A+\det(A)E=0. \end{eqnarray}$ Infolge gilt $\begin{eqnarray} A^2 = pA+qE \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p=\mathrm{tr}(A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q=-\det(A). \end{eqnarray}$ Hiermit findet sich $\begin{eqnarray} \begin{aligned}A^3 &= A^2A = (pA+qE)A = pA^2+qA\\ &= p(pA+qE)+qA = p^{2}A+qA+pqE\\ &= (p^2+q)A+pqE = p'A+q'E.\end{aligned} \end{eqnarray}$ Das setzt sich für höhere Potenzen so fort. Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zwei Zahlen $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} A^n = pA+qE \end{eqnarray}$ ist. Nun stellt sich die Frage, wie man $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ bestimmt. Wir finden auf, dass sich die Eigenwerte so verhalten müssen wie die Matrix, was zum linearen Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \lambda_1^n = p\lambda_1 + q, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2^n = p\lambda_2 + q \end{eqnarray}$ führt. Sollten die beiden Eigenwerte zusammenfallen, muss man eine Grenzwertbetrachtung machen.
17.04.2022, 15:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde eine Polynomdivision mit Rest durchführen: $\begin{align} x^5 = \left( x^3 - 3x^2 + x - 2 \right) \cdot q(x) + r(x) \end{align}$ mit Polynomen $\begin{align} q(x) \end{align}$ und $\begin{align} r(x) \end{align}$ , so daß $\begin{align} r(x) \end{align}$ verschwindet oder höchstens vom Grad 2 ist. Nach Ersetzen von $\begin{align} x \end{align}$ durch $\begin{align} A \end{align}$ wird daraus $\begin{align} A^5 = r(A) \end{align}$
17.04.2022, 15:19	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Supi Dankeschön hat funktioniert.

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