Zeige, dass alle Geraden einer Geradenschar nur auf einer Seite einer Ebene sind

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andyrue Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass alle Geraden einer Geradenschar nur auf einer Seite einer Ebene sind
gegeben sei eine geradenschar:

es gilt

und die Ebene

zeigen sie dass alle geraden für auf einer Seite der Ebene liegen.

meine gedanken: die geraden dürfen die ebene nicht schneiden, müssen als parallel zur ebene sein .. habe ich nachgewiesen .. die gerade liegt für t=0 in der ebene, sonst immer parallel. und alle geraden der schar sind parallel untereinander.

nun die sache mit dem 'auf einer seite der ebene liegen'

der geometrische ort des punktes muss also immer auf einer seite der ebene sein, wie beweise ich das? alle meine lösungsansätze habe ich verworfen weil sie nicht weiterbrachten.

habe versucht diesen punkt an der ebene zu spiegeln, es gibt aber nur für t=0 einen lotfußpunkt, genügt das als beweis?


andy
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige, dass alle Geraden einer Geradenschar nur auf einer Seite einer Ebene sind
eine Möglichkeit wäre die HNF
andyrue Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige, dass alle Geraden einer Geradenschar nur auf einer Seite einer Ebene sind
was heißt ..

wenn bei der abstandsberechnungsformel (HNF) im zähler nur ein mögliches vorzeichen gibt (t^2 ist immer größer gleich Null), ist der punkt nur auf einer seite der ebene?

andy
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei die Koordinatenform einer Ebene (bei dir ist ). Die Ebene teilt den dreidimensionalen Raum in zwei Halbräume (und die Ebene selbst). Punkte liegen genau dann im selben Halbraum, falls das Vorzeichen von dasselbe ist. Nehmen wir einmal in deiner Aufgabe die Punkte





Daher liegen und im selben Halbraum, im andern.
andyrue Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

danke, hat mir geholfen ...
andy
mohntag Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man zeigen will, dass zwei konkrete Punkte A und B auf verschiedenen Ebenenseiten liegen, dann bildet man eine Gerade durch A und B und zeigt, dass der Geradenparameter zwischen 0 und 1 liegt (denn der Schnittpunkt muss ja somit zwischen A und B liegen).

Diese Idee kannst du bei deiner Aufgabe für zwei verschiedene Geraden mit den allgemeinen Punkten nutzen.
Beim Schnitt der Geraden mit der Ebene E kommt man für den Geradenparameter auf den Term und dieser ist offenbar ...
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mohntag
... dann bildet man eine Gerade durch A und B und zeigt, dass der Geradenparameter zwischen 0 und 1 liegt (denn der Schnittpunkt muss ja somit zwischen A und B liegen).
...

Sagen wir zur Sicherheit, der Betrag des Parameters (denn er könnte auch negativ sein).

mY+
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige, dass alle Geraden einer Geradenschar nur auf einer Seite einer Ebene sind
Ergänzung zur ursprünglichen Frage:

Zitat:
Original von andyrue
der geometrische ort des punktes muss also immer auf einer seite der ebene sein, wie beweise ich das?


Wenn man keine allgemeine Formel zur Hand hat, kann man ja den gegebenen Fall genauer untersuchen.

Der Trägergraph der Aufpunkte der Geradenschar ist eine Parabel der Form in der --Ebene (dort im 1. und 4. Quadranten) mit Scheitelpunkt im Koordinatenursprung.
Die Ebene ist gegenüber der --Ebene gekippt und enthält die -Achse.
Da die -Koordinate der Parabel nur nichtnegative Werte annimmt, kann diese die Ebene nur im Ursprung berühren, aber nicht durchstoßen.
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