Anteil bestimmter Primzahlen in eindeutiger Primfaktorzerlegung bis N

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Anteil bestimmter Primzahlen in eindeutiger Primfaktorzerlegung bis N
Hallo zusammen,

gibt es eine Formel, die den Anteil vorkommender, bestimmter Primzahlen in einer Primfaktorzerlegung (eindeutig ohne Wiederholungen) bis zu einer natürlichen Zahl N angibt?

Also, wie wächst die Anzahl , Primzahl kommt in vor, für alle Primfaktorzerlegung .

Danke.

Grüße, Romaxx
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RE: Anteil bestimmter Primzahlen in eindeutiger Primfaktorzerlegung bis N
Hier stand Unsinn. Pardon
Nächster Versuch
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In den Zahlen kommt Primfaktor (inklusive Mehrfachzählung infolge mögicher höherer -Potenzen) insgesamt so oft vor wie in der Primfaktorzerlegung der Zahl , und das ist Anzahl .

Gewissermaßen eine Summenformel dafür ist , wobei die Quersumme der Zahl im Zahlensystem zur Basis darstellen soll.

Damit haben wir für den relativen Anteil .
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Ich dachte, ohne Wiederholungen, dann ist es nur die Anzahl der Vielfachen von p.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ihr beiden.

@HAL 9000:

Deine Formel stimmt nicht mit meinem Versuch für überein.

Ich habe gesagt, teilt die Hälfte alle Natürlichen Zahlen.

Wenn die Hälfte alle Natürlichen Zahlen teilt, kommt in der Hälfte alle Natürlichen Zahlen als Teiler vor, bis auf die Primzahlen selber.

Daher wächst die Anzahl für wie:



Das Verhältnis zu ist dann:



Und das ist 1/2, nach https://www.wolframalpha.com/input?i=%28...n%28x%29%29%2Fx

Also nicht 1, wie bei dir.

Wo ist mein Denkfehler?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

@URL

Kannst du mir deinen Ausdruck für erklären?
 
 
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Wenn du nur daran interessiert bist, in wie vielen Primfaktorzerlegungen der Zahlen der Faktor p mindestens einmal vorkommt, dann stimmt deren Anzahl mit der Anzahl der Vielfachen von p in überein.

Beispiel N=9, p=2

p=2 kommt genau in den Primfaktorzerlegungen von 2,4,6,8 mindestens einmal vor. Das sind genau die Vielfachen von 2 in der Menge .
Die Anzahl stimmt mit überein.
Die allgemeine Formel für die Anzahl der Vielfachen von p in der Menge ist eben .

HAL hat angegeben, wie oft der Faktor in all diesen Zerlegungen zusammen vorkommt. Für 2 einmal, 4 zweimal, 6 einmal, 8 dreimal, macht 7.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke URL, jetzt habe ich den Ausdruck verstanden. Sie stimmt auch mit meinem Ansatz für überein:

ungefähr
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Da braucht man kein ungefähr: Die Anzahl ist bei geradem N und sie ist bei ungeradem N.
Sie ist sicher nicht N/2-ln(N)
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht. Es ist abrunden von N/2. Wenn ich durch 2 teilen kann, filtere/subtrahieren ich damit schon die anderen Primzahlen aus. Ich hatte das verwechselt mit: Primfaktorzerlegungen, die übrig bleiben und verschieden sind von den trivialen Primfaktorzerlegung.

Habe nicht umsonst ein Thema aufgemacht. Brauchte das für was anderes smile .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
Deine Formel stimmt nicht mit meinem Versuch für überein.

Wie ich oben erwähnt habe, zähle ich die Primfaktoren auch mehrfach, wenn sie in entsprechend höherer Potenz in der Zahl vorkommen - deine Frage war in der Hinsicht nicht ganz klar formuliert.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Anschlussfrage:

Wie ist der Zusammenhang zu verstehen, dass wenn ich die Primfaktorzerlegung zähle, abhängig davon, ob sie eine Primzahl p enthalten, bis N, und ich davon den Mittelwert bilde, gerade der Mittelwert der Anzahl der Primzahlen in einer Primfaktorzerlegung bis N herauskommt:



Ich zähle ja möglicherweise redundante Primfaktorzerlegungen im ersten Fall, die trotzdem in ihrer unabhängigen Häufigkeit, den Mittelwert von Primzahlen in einer Primfaktorzerlegung bis N ergeben (https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Erd%C5%91s-Kac).

Ich sehe den Zusammenhang nicht.

Der Fehler ist ungefähr 0.26 für N ganz groß (https://en.wikipedia.org/wiki/Meissel%E2...ertens_constant)

Danke!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Auf Wunsch von Romaxx wird hier geschlossen.

Viele Grüße
Steffen
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