Quadratische Funktionen finden

18.04.2022, 15:50	Retrobobby	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Funktionen finden Meine Frage: Man finde alle Funktionen $\begin{eqnarray} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ für die gilt $\begin{eqnarray} f(f(-1))=f(f(0)=f(f(1)) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für b =0 ergibt sich ja $\begin{eqnarray} a=-2c \end{eqnarray}$ gibt es noch mehr Funktionen die die Bedingungen erfüllen?
18.04.2022, 17:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Systematische Fallunterscheidung ist angesagt: 1.Fall $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ : Hier ist $\begin{eqnarray} f(x)=bx+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(f(0)) = f(f(1)) \end{eqnarray}$ bedeutet dann $\begin{eqnarray} bc+c = b(b+c)+c \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ . Die sich ergebenden konstanten Funktionen erfüllen für alle $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ die Bedingung. 2.Fall $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ : Aus $\begin{eqnarray} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray}$ folgt entweder $\begin{eqnarray} x_1=x_2 \end{eqnarray}$ oder aber $\begin{eqnarray} x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \end{eqnarray}$ . Hier nun muss $\begin{eqnarray} f(a-b+c) = f(a+b+c) = f(c) \end{eqnarray}$ gelten. 2.1.Fall $\begin{eqnarray} a-b+c = a+b+c \end{eqnarray}$ : Hier ist $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} a+c=c \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ nicht möglich, daher muss hier $\begin{eqnarray} a+c + c = -\frac{0}{a} = 0 \end{eqnarray}$ sein, d.h. $\begin{eqnarray} a=-2c \end{eqnarray}$ . Alle diese Funktionen erfüllen die Bedingung. 2.2.Fall $\begin{eqnarray} a-b+c + a+b+c = -\frac{b}{a} \end{eqnarray}$ : Da hier nun entweder $\begin{eqnarray} a-b+c=c \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a+b+c=c \end{eqnarray}$ gilt, muss $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a=-b \end{eqnarray}$ gelten. In ersterem Fall haben wir $\begin{eqnarray} 2a+2c = -1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} c = -\frac{1}{2}-a \end{eqnarray}$ und damit , im zweiten Fall hingegen $\begin{eqnarray} 2a+2c = 1 \end{eqnarray}$ und damit dann $\begin{eqnarray} c= \frac{1}{2}-a \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} f(x)= a(x^2-x-1)+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ .

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