Anwendung der Weingartenabbildung

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anne23 Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung der Weingartenabbildung
Meine Frage:
Hallo,

ich versuche gerade die Weingartenabbildung in der Anwendung zu verstehen. Die Weingartenabbildung liefert mir laut Recherche die Änderung der Flächennormalen in eine Richtung . Die Frage ist nur wie und was genau bekomme ich raus?

Meine Ideen:
Zu meinen Gedanken:
Ich kann da leider nur abstrakt vorgehen, weil ich nicht durchsteige.

Zu dem "wie":
Ich kann entweder die Richtung von beiden Seiten an die Weingartenabbildung multiplizieren oder nur von rechts. Je nachdem erhalte ich ein Skalar oder einen zweidimensionalen Vektor.

Zu dem "was":
Es kann (a) der Betrag sein (der der Krümmung entspricht wenn ich die Richtung normiert habe?) (b) die Änderung der Normalen im Euklidischen Raum oder (c) die Änderung der Normalen im Tangentialraum.
(b) macht nicht viel Sinn wenn man bedenkt dass nur ein Skalar oder ein zweidimensionaler Vektor rauskommen kann. Ist es (a) oder (c) und wenn ja warum?

Ich glaube es ist erstmal sinnvoll es bei dieser Frage zu belassen, bevor ich weitere wilde Theorien aufstelle.

Vielen Dank
Anja
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Sei die Fläche und das Einheitsnormalenvektorfeld, durch das orientiert wird. Die Weingartenabbildung ist am Punkt definiert als



Sie schluckt also einen Tangentialvektor (a.k.a. Geschwindigkeitsvektor) und spuckt dafür einen Tangentialvektor aus. Hierbei ist das Differential definiert als



wobei eine frei wählbare Parameterkurve mit und sein soll. Der Term beschreibt die Richtungsableitung in Richtung (und Geschwindigkeit) Nota bene, die Richtungsableitung eines Vektorfeldes, nicht die eines Skalarfeldes, weshalb das Ergebnis ein Vektor und kein Skalar ist.

Sei nun eine Parametrisierung von mit Parameterbereich Sei die Parameterdarstellung des Einheitsnormalenvektorfeldes. Laut der Kettenregel gilt



mit Durch Umstellen findet sich die Formel



die im Wikipedia-Artikel zur Weingartenabbildung als



notiert ist.
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