Optimale Spielstrategie

18.04.2022, 21:07	Retrobobby	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimale Spielstrategie Meine Frage: Bei einem Spiel erhält man die höchste Augenzahl der geworfenen Würfel ausgezahlt. Wird allerdings mindestens eine 6 gewürfelt bekommt man nichts. Mit wie vielen würfeln sollte man dieses Spiel spielen? Meine Ideen: Wie gehe ich an so eine Aufgabe heran
18.04.2022, 22:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Bestimme des Erwartungswert des Spielgewinns beim Würfeln mit genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Würfeln. 2) Maximiere diesen Erwartungswert bzgl. dieser Würfelanzahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Beides ist natürlich nicht ohne, vielleicht machst du dir 1) auch erstmal für einzelne $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ klar, im einfachsten Fall $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ bzw. auch $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ .
19.04.2022, 09:29	Retrobobby	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E[n] =\frac{(5(5^n-4^n)+ 4(4^n-3^n)+3(3^n-2^n)+2(2^n-1)+ 1}{6^n} \end{eqnarray}$ Ist das der gesuchte Erwartungswert?
19.04.2022, 09:36	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Man kann den Ausdruck noch etwas vereinfachen.
19.04.2022, 10:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, gut gemacht. An der Symbolik muss ich etwas kritteln, denn völlig humorlos muss ich $\begin{eqnarray} E[n]=n \end{eqnarray}$ konstatieren. D.h., stattdessen meinst du sowas wie $\begin{eqnarray} g_n = E\left[G_n\right] \end{eqnarray}$ für den zufälligen Gewinn $\begin{eqnarray} G_n \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Würfeln. Bei Punkt 2) ist wohl mit Einsetzen der ersten Werte klar, dass $\begin{eqnarray} g_2 \end{eqnarray}$ das Maximum ist. Um das wasserdicht zu machen, kann man etwa die Monotonie $\begin{eqnarray} g_n > g_{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ per Vollständiger Induktion zeigen - aber wenn dir was anderes einfällt, gern auch so.

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