Schätzer: konsistent aber nicht erwartungstreu

18.04.2022, 22:11	lumak	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer: konsistent aber nicht erwartungstreu Meine Frage: Hallo an alle ich habe übermorgen eine mündliche Prüfung und hänge leider an einer Frage aus einem Gedächtnisprotokoll nun schon den ganzen Tag fest :/ daher hoffe ich auf Hilfe.. Es geht darum, dass die Konsistenz von $\begin{eqnarray} (S_N)^2=1/N \sum\limits_{i=1}^{N} (X_i - X_N)^2 \end{eqnarray}$ gezeigt werden soll Meine Ideen:* Ich weiß, dass dieser Schätzer bei unbekanntem E(X) nicht erwartungstreu ist, sondern im Mittel zu kleine Werte liefert und dass man die Erwartungstreue "retten" kann, indem man das 1/N durch ein 1/(N-1) ersetzt.. Ich weiß auch, dass ein Schätzer dann konsistent heißt, wenn der Schätzer für [latex] \theta [\latex] für N gegen unendlich gegen für [latex] \theta [\latex] konvergiert (stochastische Konvergenz, bzw. fast sichere Konvergenz bei stark konsistenten Schätzern)
22.04.2022, 10:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist WIRKLICH $\begin{eqnarray} S_N^2 = \frac{1}{N}\cdot \sum_{i=1}^N \left(X_i - {\color{red}X_N}\right)^2 \end{eqnarray}$ gemeint, und nicht doch eher $\begin{eqnarray} S_N^2 = \frac{1}{N}\cdot \sum_{i=1}^N \left(X_i - {\color{red}\bar{X}}\right)^2 \end{eqnarray}$ mit Mittelwert $\begin{eqnarray} \bar{X}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i \end{eqnarray}$ ??? $\begin{eqnarray} X_N \end{eqnarray}$ ist nämlich einfach der letzte der $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Stichprobenwerte $\begin{eqnarray} X_1,X_2,\ldots,X_N \end{eqnarray}$ , es macht irgendwie nicht sonderlich viel Sinn, den in dieser Weise herauszuheben.
22.04.2022, 10:24	lumak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es war das arithmetische Mittel über die N Werte gemeint, ich habe leider den Querbalken aus unserem Skript vergessen zu tippen, tut mir leid. Die Prüfung ist jetzt zwar rum und die Frage kam glücklicherweise nicht dran, aber dennoch freue ich mich, falls jemand die Frage beantworten kann und ich so etwas dazu lerne.
22.04.2022, 12:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht ja um einen Schätzer für die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ der Grundgesamtheit. Von Schätzer $\begin{eqnarray} S_N^2 \end{eqnarray}$ wissen wir, dass er nicht erwartungstreu, aber immerhin asymptotisch erwartungstreu ist, genauer gesagt gilt $\begin{eqnarray} E\left[S_N^2\right] = \frac{N-1}{N}\sigma^2 \end{eqnarray}$ . Starke Konsistenz erfordert $\begin{eqnarray} \lim_{N\to\infty} S_N^2 = \sigma^2 \end{eqnarray}$ P-f.s. Schwache Konsistenz hingegen $\begin{eqnarray} \lim_{N\to\infty} P\left(\left\|S_N^2-\sigma^2\right\| \geq \varepsilon\right) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Klar ist, dass man in beiden Fällen die Konsistenz auf die jeweilige Eigenschaft des unverzerrten Schätzers $\begin{eqnarray} \tilde{S}_N^2 = \frac{1}{N-1}\cdot \sum_{i=1}^N \left(X_i - \bar{X}_N\right)^2 \end{eqnarray}$ zurückführen kann. Im Falle der starken Konsistenz etwa so: Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Menge der $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{N\to\infty} \tilde{S}_N^2(\omega) = \sigma^2 \end{eqnarray}$ . Falls wir von $\begin{eqnarray} \tilde{S}_N^2 \end{eqnarray}$ bereits die starke Konsistenz wissen, dann bedeutet das $\begin{eqnarray} P(A)=1 \end{eqnarray}$ . Nun gilt für alle $\begin{eqnarray} \omega\in A \end{eqnarray}$ (und damit P-fast alle $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ) dann aber auch $\begin{eqnarray} \lim_{N\to\infty} S_N^2(\omega) = \lim_{N\to\infty} \frac{N-1}{N}\tilde{S}_N^2(\omega) = \lim_{N\to\infty} \frac{N-1}{N} \cdot \lim_{N\to\infty} \tilde{S}_N^2(\omega) = 1\cdot \sigma^2 = \sigma^2 \end{eqnarray}$ , also auch Starke Konsistenz von $\begin{eqnarray} S_N^2 \end{eqnarray}$ .

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