Mittlerer Schatten

19.04.2022, 06:30

Dopap

Mittlerer Schatten

Mein Sohn ist Fußballfan und hat in seinem Lieferwagen einen kleinen schwarz -gelben Fußball an einer Feder bauelnd befestigt. Der hüpft und pendelt auf schlechten Strassen hin und her.
Unklar ist mir, ob und welche Bedeutung die Farben haben. Wichtiger erschien mir die Frage, welchen Schatten dieser Hüpfkörper durchschnittlich wirft.
Irgendwie unwichtig aber der Gedanke setzte sich fest.

Nun denn : welcher relative Anteil $\begin{eqnarray*} s^* \end{eqnarray*}$ der Oberfläche des konvexen Polyeders ist bei senkrechter Parallelprojektion Schatten d.h. ein Punkt (u,v,w) des Körpers wird auf (u,v, 0) abgebildet. Da Translationen hier nichts am Betrag ändern, bleiben noch Rotationen von Interesse.
Fest mit dem Körper in $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ sei ein System $\begin{eqnarray*} X' Y' Z' \end{eqnarray*}$ verbunden.
Die Drehungen seien gleichverteilt derart, dass jede Achse für sich allein betrachtet eine vorgegebene Teilmenge $\begin{eqnarray*} \dd A \end{eqnarray*}$ der Oberfläche der Einheitskugel um $\begin{eqnarray*} O(0,0,0) \end{eqnarray*}$ , mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P( \lnot [pos Achse \cap \dd A =\emptyset ])= \frac {\dd A }{4\pi} \end{eqnarray*}$ "trifft", also eine Gleichvereilung.
Der Schatten $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ dürfte eine Dichtefunktion sein und sein Erwartungswert ist gesucht.
Bei einem Einheitswürfel liegt dieser zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \text{ und} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und zwar genau dann wenn der Schatten ein Sechseck bildet. Eine solche Dichte wäre nett, ist aber für den Erwartungswert nicht zwingend vorgeschrieben.

Deshalb könnte der mittlere Schatten eines Quadrates hilfreich sein. Das Einheitsquadrat wirft einen Schatten $\begin{eqnarray*} |\cos(\theta)| \end{eqnarray*}$ wobei Theta der Winkel zwischen Z-Achse und der Flächen-Normalen ist ( "Zenitdistanz"). Drehungen um diese Normalenachse hingegen sind "bekanntermaßen" neutral bezüglich dem Betrag der Schattenfläche.
Bleibt noch $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ als Freiheitsgrad übrig
Das Differential des Erwartungswertes von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \dd E(S)= \cos (\theta) P(\theta) \dd\theta = \cos (\theta) \left(\frac {2 \pi \sin(\theta) \dd\theta}{ 4\pi}\right) \end{eqnarray*}$ Die "Trefferfläche" $\begin{eqnarray*} \dd A \end{eqnarray*}$ für die Normale ist hier ein dünner Ring der Oberfläche ==>

$\begin{eqnarray*} E(S)= 1/2 \int_0^\pi |\cos(\theta)| \sin(\theta) \dd \theta\qquad \end{eqnarray*}$ und ohne Betrag

$\begin{eqnarray*} E(S)= \int_0^{\pi/2} \cos(\theta) \sin(\theta) \dd \theta\qquad \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} 2 \cos(x) \sin x =\sin (2x) \quad \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} E(S)= \int_0^{\pi/2} \tfrac 12\sin(2\theta) \dd\theta = 1/2\quad \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} s^*_\text{Quadrat}= 1/4=25\% \end{eqnarray*}$

Ist das soweit in Ordnung?

19.04.2022, 10:15

Ulrich Ruhnau

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RE: Mittlerer Schatten

Zitat:

Original von Dopap
Nun denn : welcher relative Anteil $\begin{eqnarray*} s^* \end{eqnarray*}$ der Oberfläche des konvexen Polyeders ist bei senkrechter Parallelprojektion Schatten d.h. ein Punkt (u,v,w) des Körpers wird auf (u,v, 0) abgebildet.
...
Der Schatten $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ dürfte eine Dichtefunktion sein und sein Erwartungswert ist gesucht.
Bei einem Einheitswürfel liegt dieser zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \text{ und} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und zwar genau dann wenn der Schatten ein Sechseck bildet. Eine solche Dichte wäre nett, ist aber für den Erwartungswert nicht zwingend vorgeschrieben.

Deshalb könnte der mittlere Schatten eines Quadrates hilfreich sein.

Normalerweise ist ein Fußball rund. Aber angenommen er sei ein Polyeder, dann würde er aus 12 regelmäßigen 5-Ecken und 20 regelmäßigen 6-Ecken zusammengesetzt sein. Der Schatten wäre zu jedem Zeitpunkt ein anderer als beim Würfel unabhängig von dessen Größe. Die Schattendichte wäre in einer kreisförmigen Fläche gleich 1 und würde nach außen abfallen. Als Integrationsbereich (zum Rotieren) würde ich die Umgebung eines 5-Ecks vorschlagen. Die Dichtefunktion darf den Wert 1 nicht überschreiten.

20.04.2022, 12:09

Dopap

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mmh.. ich denke du meinst, dass das Integral einer Dichtefunktion in den Definitionsgrenzen den Wert 1 haben muss.
Im stetigen Falle wie hier ist die Dichte lediglich die Ableitung der Verteilungsfunktion
und diese kann durchaus Stellen mit größerer Steigung als 1 haben. Aber egal keine der beiden Funktionen ist in Reichweite.

Als nächster Schritt weg vom Quadrat hin zu 3-D Körpern ist der Würfel. Der Gedanke ist nun so, dass immer jeweils 3 Seiten - mit einer gemeinsamen Ecke- beleuchtet werden und man deshalb den mittleren Schatten von 1/2 mit 3 multiplizieren kann.

$\begin{eqnarray*} E(S_\text{Würfel})=1/2 \cdot 3=3/2 \end{eqnarray*}$

geteilt mit der Oberfläche von 6 ergibt

$\begin{eqnarray*} E(s^*_\text{Würfel})=\frac {3/2}{6}=1/4 =25\% \end{eqnarray*}$

Damit wäre ohne Kenntnis der Dichtefunktion der erste Erwartungswert eines konvexen Polyeders ermittelt.
Aber leider stehen noch so viele Körper offen. Allein der Gedanke an einen geschliffenen Diamanten mit seinen 57 ? Polygonen bereit Kopfschmerzen...

22.04.2022, 06:53

Dopap

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... komme so nicht voran und versuche es anders formuliert nochmals mit dem Würfel :

$\begin{eqnarray*} E(Fläche(Schatten(Würfel)))=1/2 \sum_j^6(E(Schatten(Quadrat_j)))=1/2*6*1/2=3/2 \end{eqnarray*}$

und damit wie gehabt $\begin{eqnarray*} s^*_\text{Würfel}= 1/4\quad\checkmark \end{eqnarray*}$ .

Und in Extrapolation einer Allgemeingültigkeit:

$\begin{eqnarray*} E(Fläche(Schatten(konvexer Polyeder)))=1/2 \sum_j(E(Schatten(Polygon_j))) \end{eqnarray*}$ ,

somit $\begin{eqnarray*} s^*_\text{konvexer Polyeder}=1/4 \end{eqnarray*}$ .

Mit der Kugel als entarteter Polyeder und $\begin{eqnarray*} s^*_\text{Kugel}=\frac{E(S)}{O}=\frac {\pi r^2}{4 \pi r^2} =1/4 \end{eqnarray*}$

folgt eine "durchgehende" Übereinstimmung, was die Vermutung nahelegt:

bei senkrechter Parallelprojektion ist der durchschnittliche Schatten eines konvexen Körpers 1/4= 25% seiner Oberfläche

25.04.2022, 21:02

Dopap

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... scheint jedenfalls nicht auf Ablehnung zu stoßen.

P.S die Bedeutung der Farben auf dem Spielzeug-Fußball hat sich inzwischen auch geklärt.

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