Heronische Formel

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Gänseblümchen123 Auf diesen Beitrag antworten »
Heronische Formel
Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Zeigen Sie, dass füur den Flacheninhalt F eines Dreiecks mit den Seitenlangen a, b, c die Gleichung: F^2= -1/ 16 det ( 0 c^2 b^2 1) gilt.
c^2 0 a^2 1
b^2 a^2 0 1
1 1 1 0

Meine Ideen:
Ich dachte daran die Längen der Seiten zu ermitteln und die Werte in die Heron-Formel für die Dreiecksfläche einsetzen. Jedoch brauche ich hilfe die Seitenlängen a, b und c zu bestimmen.

Anschließend würde ich die determinante der Matrix berechnen und mal -1/16 rechnen.

Nun die beiden Ergbenisse vergleichen und schauen ob das selbe rauskommt. Bin ich da auf dem richtigen Weg? Wie kann ich die Seitenlängen a, b und c in der Matriz berechnen? LGS lösen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bringen wir es mal zunächst in lesbare Form:

Was darfst du denn benutzen? Gewöhnlich wird die Heronsche Formel ja in der Form

mit (*)

präsentiert - darfst du davon schon ausgehen? In dem Fall wäre nur die Determinante auszurechnen und zu zeigen, dass der entstehende Term mit (*) übereinstimmt.
Gänseblümchen123 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Schnell antwort.

Genau, davon darf ich ausgehen. Also berechne ich die Determinante und rechne diese mal -1/16. Falls das Ergbenis dann mit Heronische Formel übereinstimmt. gilt die Gleichung.

Um aber die den Flächeninhalt mit der Heronischen Formel berechnen, zu könne fehlen mir die Werte für a b und c. Wie mache ich das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gänseblümchen123
Um aber die den Flächeninhalt mit der Heronischen Formel berechnen, zu könne fehlen mir die Werte für a b und c. Wie mache ich das?

Ich weiß nicht, was du meinst: Du rechnest einfach mit ALLGEMEINEN , d.h., diesen Symbolen statt konkreten Zahlen.

Diese Determinante vereinfacht man besser erstmal zur 3x3, oder noch besser zur 2x2-Determinante: Die erste Zeile von der zweiten sowie auch dritten Zeile subtrahieren, dann Laplaceschen Entwicklungssatz auf die letzte Spalte anwenden, das ergibt (das Vorzeichen nehme ich mal schon mit)



Jetzt das ganze so ähnlich mit den Spalten: Die erste Spalte von der zweiten sowie auch dritten Spalte subtrahieren, dann Laplace angewandt auf letzte Zeile:



Die dürfte nun leicht auszurechnen sein. Ich würde an deiner Stelle aber NICHT vollständig ausmultiiplizieren, sondern besser (mit einem Auge auf (*) gerichtet) geeignet faktorisieren, unter Einsatz diverser Binomischer Formeln...
Gänseblümchen123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Vielen dank. Ich versuche es mal. Sonst melde ich mich nochmal smile
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